Типовик 2 семестр ч5
.pdf
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
163 |
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 2 7 897 |
||
|
12345678479 64829 49 6 5 9 4 9 |
|||||
|
|
|
|
|||
9 |
878479 4 9 |
6 9 6 9 64829 49 4 9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
232 4 5267289 2 2 2 2 |
|
|
1 |
|
|
12 |
2 4 1 |
|
||||
7 7 2 |
3 4 5 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
232 4 5 2 232 4 524 4 5 2 4 52 2 |
2 4 4 15 3 4 15 2 |
||||
6 682 |
|
|
|
|
|
|
|
6 2 6 52 |
889 9 92 !"7 2 6 6 !2 |
||||
|
|
7 7 9 72 2892 12 82 2 |
|
|||
#2 |
232 455 26272527282 |
8 |
|
3 4 5 5 2 |
||
2 4 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1
2.11.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
2.11.1.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, ЕСЛИ ФУНКЦИЯ ЗАДАНА В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть y = f(x) — непрерывно дифференцируемая и не отрицательная на отрезке [a, b] функция. Площадь S по верхности, образованной при вращении графика этой функ ции вокруг оси Ox (рис. 12), вычисляется по формуле
|
b |
|
|
|
S 2 |
235f(x) 1 4 |
2 |
dx. |
(38) |
(f1(x)) |
|
a
Рис. 12
164 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Аналогично, площадь S поверх ности, образованной при вращении графика функции x = (y) на отрез ке [c, d] вокруг оси Oy (рис. 13), вы числяется по формуле
d
S 2 2364(y) 1 5 (41(y))2 dy. (39)
c
Порядок вычисления аналоги чен порядку вычисления длины дуги
Рис. 13 |
плоской кривой. |
|
Пример 2.24.
Найти площадь поверхности, образованной вращени ем кривой y = (1 – x2/3)3/2, 0 x 1, вокруг оси Ox.
Р е ш е н и е. Имеем
y4 5 |
3 |
(13 x2/3 )1/2 13 2 x31/3 2 5 3 |
(13 x2/3 )1/2 |
, |
||||||||
2 |
1/3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
1 6 (y4) |
2 |
5 1 |
6 |
13 x2/3 |
5 |
1 |
. |
|
|
|||
|
x |
2/3 |
1/3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
Следовательно, площадь поверхности (по формуле (38)) равна
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
1 x |
2/3 |
|
2 |
11/3 |
|
|
3 |
|
||
S 4 27 (1 1 x2/3 )3/2 |
dx 4 |
5t 4 1 |
|
|
, dt 4 1 3 x |
|
dx,6 |
4 |
|||||||||
1/3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
5 |
4 1, t(1) 4 0 |
|
|
|
|
6 |
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
8t(0) |
|
|
|
|
9 |
|
||||
0 |
3 |
3/2 |
|
0 |
3/2 |
|
2 5/2 |
|
0 |
2 |
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 127 |
2 t dt |
4 137 t dt 4 137 |
5 t |
|
|
1 4 137 |
5 (0 |
11) |
4 |
5 |
7. |
||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.25.
Найти площадь поверхности, образованной вращени ем кривой x2 = y + 4, y = 2 вокруг оси Oy.
Р е ш е н и е. Найдем x , используя правило дифферен цирования функции, заданной в неявном виде:
2xx1 2 1, x1 2 21x .
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165 |
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 2 (x1)2 3 1 2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
учитывая, что x2 = y + 4, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 1 |
1 |
|
2 1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
4y 1 17 |
|
2 |
4y 1 17 |
. |
|||||
4x2 |
4(y 1 4) |
4(y 1 4) |
2 y 1 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По формуле (39) вычисляем площадь поверхности: |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
4y 217 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
S 3 24 5 |
y 2 4 |
|
|
dy 3 4 5 4y 217dy 3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
14 |
2 |
y 2 4 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 1 2 4(4y 217)3/2 |
|
2 |
3 |
4 |
(253/2 11) 3 |
62 |
4 3 20 2 |
4. |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
4 3 |
|
|
|
|
14 |
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.11.2.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, ЕСЛИ ФУНКЦИЯ ЗАДАНА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
При параметрическом задании кривой x = x(t), y = y(t), t1 t t2, площадь S поверхности, образованной вращени ем кривой вокруг оси Ox, вычисляется по формуле
|
t2 |
|
|
|
S 2 23 |
5 |
y(t) (x1)2 |
4 (y1)2 dt. |
(40) |
|
t |
t |
||
|
t1 |
|
|
|
Пример 2.26.
Найти площадь поверхности, образованной вращени ем циклоиды
3x 1 4(t 2 sint),
6 0 4 t 4 25
7y 1 4(12 cost),
вокруг оси Ox.
Р е ш е н и е. Найдем x = 4(1 – cost), y = 4sint. Тогда
(xt1)2 2 (y1)2 3 16(1 4 cost)2 216sin2 t 3 3 4 1 4 2cost 2 cos2 t 2 sin2 t 3 4 2 14 cost 3
3 4 2 2sin2 |
t |
3 8sin |
t |
. |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
166 |
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
8
8
Рис. 14
Вычисляем площадь поверхности вращения по форму ле (40) при вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ox (рис. 14):
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
||||
4 23 4(1 |
5 cost)8sin |
|
|
|
4 643 2sin2 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||
2 S |
|
dt |
|
|
sin |
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 1283 sin2 |
|
sin |
|
dt 4 1283 11 5 cos2 |
|
2sin |
|
dt 4 |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
6u 4 cos |
t |
, du 4 5 |
1 sin |
t |
dt, |
sin |
t |
dt 4 52du,7 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||||
|
8 |
4 1, |
u(3) 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||
|
u(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 52563 (15 u2 )du 4 525631u 5 u33 2 |
|
1 |
4 5256310 51 1324 5123 |
3. |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
1 S 1 |
512 |
2. |
|
Следовательно, |
S 1 1024 |
2. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2.11.3.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, ЕСЛИ ФУНКЦИЯ ЗАДАНА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть кривая задана в полярных координатах уравне нием r = r( ), , тогда площадь S поверхности, об разованной вращением кривой r = r( ) вокруг полярной оси, вычисляется по формуле
1 |
|
S 4 258r |sin6| r2 7 (r3)2 d6. |
(41) |
2