Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовик 2 семестр ч5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2015

Размер:

496.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

153

Рис. 4

Рис. 5

154	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
	Найдем пределы интегрирования, решив систему урав
нений
	4y 2 4x 1 x2,	4x 1 x2 2 12x 35,
	6y 2 12x 35,	5 x2 16x 35 2 0,
	7

отсюда x1 = 1, x2 = 5, значит, пределы интегрирования a = 1, b = 5. Применяем формулу (32):

	5								5
		S 1 4((4x 2 x2 ) 2 (22x 3 5))dx 1 4(6x 2 x2 2 5)dx 1
	1								1
1	3x2	15 2 x3	5	2 5x	15 1 75 2 3 2	125	3	1	2 25 3 5 1	32	1	10	2	(кв.ед.)
			5

	3		1			3		3		3			3
	3		1			3		3		3			3

В случае, когда плоская фигура имеет более «слож ный» вид, ее площадь вычисляется с помощью формулы (32) после предварительного разбиения фигуры на более простые части.

2.9.2.

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Если фигура ограничена кривой, заданной параметри ческими уравнениями x = x(t), y = y(t), прямыми x = a, х = b и осью Ox (рис. 6), то площадь ее вычисляется по формуле

t2
S 2 3 y(t)x1(t)dt,	(33)
t1

а пределы интегрирования находятся из уравнений a = x(t1), b = x(t2), (t) 0 на отрезке [t1, t2].

Пример 2.19.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, за данными уравнениями

2x 1 8cos3 t,		x 1 2 2 (x 3 2 2).
4		x 1 2 2 (x 3 2 2).
5y 1	3sin3 t,

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

155

Рис. 6

Р е ш е н и е. Построим кривую, заданную параметри ческими уравнениями (см. рис. 7). Для этого вычислим значения x(t) и y(t):

11	2	1	1		2	1	1	2	1	1		2	1	1	61	1	1	1	1	1	1	1	1
		2				3			4				5			5		4		3		2
21	61				71			2	2 1			3	3 1		81	3	3 1	2	2 1	71		61
31	931			2		8	3 1	2 3	4	2	1	2	3	1	61	3	1	3	2 1		3 1	31
						8			4				8			8		4		8
1

Мы подставляли значения t из верхней строки табли цы в параметрические уравнения и последовательно по лучали значения x и y. Построим также и прямую x 1 2 2 (см. рис. 7).

Найдем пределы интегрирования. Приравняем

x 1 8cos3 t 1 2 2, cos3 t 1 282 ,

отсюда cost 1 22 , t = /4. Поскольку x 1 2 2, t изменя

ется от – /4 до /4. Так как фигура, площадь которой мы хотим найти, симметрична относительно оси Ox, то можно

156	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Рис. 7

интегрировать от t = 0 до t = /4. А результат затем удво ить. Подставляем в формулу (33), учитывая, что x (t) = = –24cos2tsint:

	0
S 2 2 4 (3sin3 t)(324cos2 tsint)dt 2
	1/4
0	1/4
2 3144 4	sin4 tcos2 tdt 2 144 4 sin4 tcos2 tdt.
1/4	0

Для вычисления интеграла воспользуемся формулами из таблицы 4 (сл. II и III) из п. 1.6:

		3/4		3/4
S 4 144 7 sin4 tcos2 tdt 4 36 7 sin2 t(4sin2 tcos2 t)dt 4
4 36	7	0		0
4 36	7	sin2 tsin2 2tdt 4 36		7 112 5 12 cos2t2112 5 12 cos4t2dt 4
3	/4		3	/4
	0			0
		3/4
		4 9 7	(15 cos2t 5 cos4t 6 cos2tcos4t)dt 4

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ																		157
		3/4									1			1
	4 9 7 115 cos2t 5 cos4t 6										1			1
	4 9 7 115 cos2t 5 cos4t 6										2 cos6t 6			2 cos2t2dt				4
		0
	3/4	dt 5 29			3/4					3/4					3/4
4 9 7		dt 5 29			7	cos2tdt 5 9 7					cos4tdt 6 29				7 cos6tdt 4
	0				0					0					0
	4 9t		03/4 5		9 sin2t		03/4		5	9 sin4t			03/4 6	3 sin6t			03/4	4
	4 9t		03/4 5		9 sin2t		03/4		5	9 sin4t			03/4 6	3 sin6t			03/4	4
					4					4				4
4	93 5	9 sin		3 6		3 sin		33	4	93	5 9	5 3 4		93 512		8 4,069.
4	93 5	9 sin		3 6		3 sin		2	4	4	5 9	5 3 4				8 4,069.
	4	4		2		4		2		4	4	4			4

2.9.3.

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть кривая задана в полярных координатах уравне нием r = r( ) и двумя лучами = и = ( < ), тогда ее площадь (рис. 8) вычисляется по формуле

S 3 1 5r2 (4)d4. (34) 2 2

Рис. 8

158				ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
	Пример 2.20.
	Найти площадь фигуры, ограниченной линией (x2 +
+ y2)3 = (x2 – y2)2, перейдя предварительно к полярным ко
ординатам.
	Р е ш е н и е. Переход от декартовых к полярным ко
ординатам осуществляется по формулам
									x 2 r cos3,
									1y 2 r sin3.
	Подставив эти выражения в уравнение кривой, полу
чим
(r2cos2 + r2sin2 )3 = (r2cos2 – r2sin2 )2,																		r6 = r4cos22
или
								r2 = cos22 .
	Отсюда получаем уравнение кривой в полярных коор
динатах: r = \|cos2 \|.
	Поскольку в правой части уравнения стоит неотрица
тельная величина, то полярный угол может принимать
любые значения – < . В силу периодичности функ
ции \|cos2 \| вычислим подробно значения для аргументов
в промежутке										1				1.
									2	1	3 4 5			1.
										4				4
11	3	22 1		3	2	1	3	2	1		3	2		1	3	2	1	3	2	1	1
		3			4			3				5				6			74
11		81		71			81				7		1			4	1		2	1	1
											4				4				4
81		2	1	2		1	2		1		2		1		2		1	22		1	21
	74			6			5				3				4				3
71		2	1		4	1	7		1			81				71			81		71
		4		4			4
1
	Построим кривую (четырехлепестковую розу) (рис. 9).
В силу симметрии фигуры достаточно проинтегрировать
по от 0 до /4, а затем результат умножить на 8.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

159

Рис. 9

						1 2 3 4 5 6 2 7	8 7
	12345678479 6 49 6 5 9 4 29

9	878479 4 9	6 9 6 9 23456784 9
9	878479 4 9	6 49
		6 49
12	9232 14 52629232 74 582 14 5212 74 5292			5 3 14 5 2
12	2 2 66 2	2 4 74		5 3 14 5 2
	232 82 232 292 2 2
		1
72	232 4 582923294 582	5
72	232 4 582923294 582	2 4 94 5	4 5 8 2 232 4 1582
	2 232 829232 262 2 2	2
		232 4 7582 2 2 182 7 2

!2	232 465262 2" # 2	1	8		7	465 6 2
!2	62327262623282472$2852	2 7	4			465 6 2
			7

Применим формулу (34):

S 2 28	1/4	1/4
S 2 28	4	cos2 23d3 2 4 4 cos2 23d3.
	0	0

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой понижения степени из таблицы 4 (сл. II) из п. 1.6:

160	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
	1/4	1/4
S 2 4 5		cos2 23d3 2 2 5	(1 4 cos43)d3 2
	0	0
1/4	1	/4	1/4	1	1/4		1
2 2 5	d3 4 2 5 cos43d3 2 23					2
			0	4 2 sin43	0		2.

Все вышеприведенные формулы (32)...(34) можно све сти в одну таблицу (табл. 9).

2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ

ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

2.10.1.

ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ УРАВНЕНИЕМ

В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть кривая y = f(x) на отрезке [a, b] (рис. 10) — глад кая (т. е. производная y = f (x) непрерывна). Под длиной дуги кривой y = f(x) понимается предел, к которому стре мится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина

наибольшего звена ее стремится к нулю (см. подробно [11]). Дли ну L дуги можно найти по фор муле

	b
Рис. 10	L 2 4	13	2	dx,	(35)
Рис. 10	L 2 4	13	(y1)	dx,

где a, b — абсциссы концов дуги. Порядок вычисления:

1) найти, чему равен соответствующий корень 1 2 (y1)2 ; 2) вычислить интеграл от найденного значения корня

L 2 4 13 (y1)2 dx.

a
Пример 2.21.	1.
Вычислить длину дуги кривой y = –lncosx, 0 2 x 2	1.
Р е ш е н и е. Найдем 1 2 (y1)2 . Так как	6
Р е ш е н и е. Найдем 1 2 (y1)2 . Так как

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ																																	161
						y1 2 3							1				(3sinx) 2 tgx,
						y1 2 3											(3sinx) 2 tgx,
											cosx
то																cos2 x					sin2 x								1
1 2 (y1)					2				2							cos2 x					sin2 x								1
						3	1 2 tg					x 3							2						3								.
						3	1 2 tg					x 3				2			2		2			x	3			cos		2	x		.
																cos x					cos			x				cos			x
Следовательно,																1					1
							1 2 (y1)2 3									1					1
																					3					.
																		cos2 x			3	cosx				.
По формуле (35) находим длину дуги:
							3/6		1									3/6 cosx
					L 4										dx 4									dx 4
					L 4										dx 4						2			dx 4
							0			cosx						0				cos x
							0									0
3/6				cosx											5t 4 sinx,						dt 4 cosxdx,6
				cosx									7										1		2							8
4										dx			4 7					t(0) 4 0, t						3			4		1				4
4			1	9 sin2 x						dx			4 7					t(0) 4 0, t						3			4		1			8	4
		0																						6					2
1/2		dt				1		1 t						1/2		1				1 0,5					1							1
1/2		dt				1		1 t						1/2		1				1 0,5					1							1
4				4		2 ln		1 9 t									4 2 ln			19 0,5				9		2 ln1				4		2 ln3.
4	1	9 t2		4										0										9						4
0	1	9 t2												0
0

2.10.2.

ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

При параметрическом задании кривой x = x(t), y = y(t) (x(t), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая изменению парамет ра t от t1 до t2, вычисляется по формуле

	t2
	L 2 4 (xt1)2 3 (yt1)2 dt.			(36)
	t1
Пример 2.22.
Вычислить длину дуги кривой
	5		0 4 t 4 3.
	2x 1 cos3 t,
	6y 1 sin3 t,		2
Р е ш е н и е. Находим		(xt1)2 2 (yt1)2 :
x1 2 33cos2 tsint,		y1 2	3sin2 tcost,
t		t
(x1)2	4 (y1)2 2 9cos4 tsin2 t 4 9sin4 tcos2 t 2
t	t

2 9cos2 tsin2 t(cos2 t 4 sin2 t) 2 9cos2 tsin2 t.

162	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Таким образом,

(xt1)2 2 (yt1)2 3 3costsint.

По формуле (36) вычисляем длину дуги:

1/2		3	1/2			3 1	1/2
L 2 5 3costsintdt 2		3	5	sin2tdt 2 3		3 1		2
L 2 5 3costsintdt 2		2	5	sin2tdt 2 3		2 2 cos2t	0	2
0		2	0			2 2 cos2t	0
0			0
2 3 3 cos2	1	4	3 cos0 2 3		4 3	2 3.
4	2		4	4	4	2
		2.10.3.
ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ,
ЗАДАННОЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
				Пусть кривая задана в по
			лярных координатах уравне
			нием r = r( ), (рис. 11).
			Тогда длина дуги вычисляется
			по формуле
Рис. 11				1
Рис. 11				L 4 7	r2 5 (r3)2 d6.			(37)
				L 4 7	r2 5 (r3)2 d6.			(37)
				2

Пример 2.23.

Вычислить длину дуги кривой r = 1 – cos , 0 .

Р е ш е н и е. Находим r2 2 (r1)2 :

r1 2 sin3,

r2 4 (r1)2 2 (15 cos3)2 4 sin2 3 2 1 5 2cos3 4 cos2 3 4 sin2 3 2 2 2 5 2cos3 2 2(1 5 cos3),

r2 4 (r1)2 2 2(1 5 cos3) 22	4sin2 3	2 2sin	3.
	2		2

По формуле (37) вычисляем длину дуги:

L 3 61 2sin 2 d2 3 44cos 2 1 3 44cos 1 5 4cos0 3 4. 2 2 0 2

Сведем вышеприведенные формулы (35)...(37) в одну таблицу (табл. 10).

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015203.26 Кб608Технол карты тек рем обор подст.doc
#
10.04.20151.02 Mб89Технологическая карта 2.2.docx
#
10.04.2015520.51 Кб16Типовик 2 семестр ч2.pdf
#
10.04.2015354.1 Кб17Типовик 2 семестр ч3.pdf
#
10.04.2015360.76 Кб5Типовик 2 семестр ч4.pdf
#
10.04.2015496.81 Кб6Типовик 2 семестр ч5.pdf
#
28.04.201946.59 Кб2ТИПОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ о мол. спеце Дочерних иЗависи....doc
#
09.04.2015354.82 Кб31Типовой расчёт 3.doc
#
10.04.20151.22 Mб14типовой расчет.doc
#
18.09.201984.99 Кб10тире в простых предложениях. Булгаков Собачье с...doc
#
10.04.201524.58 Кб26титульник для реферата.doc

11	2	1	1		2	1	1	2	1	1		2	1	1	61	1	1	1	1	1	1	1	1
		2				3			4				5			5		4		3		2
21	61				71			2	2 1			3	3 1		81	3	3 1	2	2 1	71		61
31	931			2		8	3 1	2 3	4	2	1	2	3	1	61	3	1	3	2 1		3 1	31
						8			4				8			8		4		8
1

11	2	1	1		2	1	1	2	1	1		2	1	1	61	1	1	1	1	1	1	1	1
		2				3			4				5			5		4		3		2
21	61				71			2	2 1			3	3 1		81	3	3 1	2	2 1	71		61
31	931			2		8	3 1	2 3	4	2	1	2	3	1	61	3	1	3	2 1		3 1	31
						8			4				8			8		4		8
1

11	2	1	1		2	1	1	2	1	1		2	1	1	61	1	1	1	1	1	1	1	1
		2				3			4				5			5		4		3		2
21	61				71			2	2 1			3	3 1		81	3	3 1	2	2 1	71		61
31	931			2		8	3 1	2 3	4	2	1	2	3	1	61	3	1	3	2 1		3 1	31
						8			4				8			8		4		8
1