1.4. Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой ди-ректрисой.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Пусть фокус имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид:. Тогда уравнение параболы запишется в виде:

(9)

Уравнение (9) называется каноническим уравнением параболы. Ось абсцисс будет являться осью симметрии параболы, заданной уравнением (9). При все точки такой параболы располагаются в правой полуплоскости (рис. 5), а при– в левой.

Рис. 5.Парабола

Если поместить фокус на оси ординат, т. е. он будет иметь координаты , а уравнение директрисы будет, то каноническое уравнение параболы можно записать в виде:

(10)

Рис. 6. Парабола

Для параболы, заданной уравнением (10), осью симметрии является ось ординат. При все точки такой параболы располагаются в верхней полуплоскости, а при– в нижней.

2. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования координат

2.1. Пятичленное уравнение кривой второго порядка

Вернемся к общему уравнению кривой второго порядка (1). Предположим, что коэффициент уравнения B равен нулю, т. е. в уравнении отсутствует смешанное произведение x и y. Итак, уравнение является пятичленным:

(11)

Рассмотрим следующие случаи уравнения (11).

1. Пусть ; тогда уравнение определяет эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку). Если, то получим окружность.

2. Пусть ; тогда мы имеем дело с гиперболой, вырожденный случай которой представляет собой пару пересекающихся прямых (если левая часть уравнения может быть представлена в виде произведения двух линейных сомножителей).

3. Пусть , но; тогда уравнение описывает параболу, которая может вырождаться в пару пересекающихся прямых, если левая часть уравнения не содержит одной из двух переменных –x или y.

Для установления вида кривой и ее расположения на плоскости необходимо привести уравнение к каноническому виду, первоначально выделив полные квадраты по переменным и:

.

(12)

Обозначим ,,. Получим:

.

(13)

Остается только перенести в правую сторону равенства (13) и, разделив обе части на, получить каноническое уравнение кривой в новой декартовой системе координат, полученной из старой параллельным переносом начала координатв точку.

2.2. Полное уравнение кривой второго порядка

Теперь рассмотрим уравнение кривой второго порядка, в котором коэффициент . В этом случае необходимо применить преобразование поворота осей координат по формулам:

	(14)
	(15)

При этом угол подбирается таким образом, чтобы уравнение стало пятичленным, т. е. не содержащим произведенияДальнейшие преобразования аналогичны приведенным выше преобразованиям для пятичленного уравнения.

3. Примеры выполнения заданий типового расчета

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса и гиперболы с полуосями и, выписать координаты фокусов.

Решение.

Составим сначала уравнение эллипса по формуле (2):

или

Так как , то фокусы имеют координатыи, где, т. е. координаты фокусови.

Составим уравнение гиперболы, для которой действительная полуось , а мнимая –. Воспользуемся формулой (5), получим:

или

Для гиперболы , поэтому фокусы имеют координатыи

В случае, когда полуось является мнимой, а полуось– действительной, по формуле (6) получим:

или

Фокусы данной параболы имеют координаты и.

Задача 2. Составить канонические уравнения парабол с параметром , выписать координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение.

В случае, когда парабола симметрична относительно оси , ее уравнение, согласно формуле (9), имеет вид:илиПри этом фокус лежит на осина расстоянииот начала координат, т. е. координаты фокуса, уравнение директрисы имеет вид:.

Если осью симметрии параболы является ось , то уравнение примет вид:илиСоответственно фокус находится на осиимеет координаты, а уравнение директрисы:

Задача 3. Построить кривые второго порядка, заданные уравнениями:

а) ; б); в).

Решение.

а) Данное уравнение задает эллипс с полуосями иДля построения отложим от начала координат в обе стороны расстояниена осиина оси. Используя полученные точки, построим прямоугольник со сторонамии, а в прямоугольник впишем эллипс (рис. 7).

Рис. 7. Чертеж эллипса к задаче 3 (а)

б) Уравнение преобразуем к виду: или

Значит, это гипербола, симметричная относительно оси , с действительной осьи мнимой осью. Для построения гиперболы на плоскости отложим от начала координат в обе стороныпо осиипо оси(рис. 8). Аналогично случаю решения задачи по варианту а построим прямоугольник, затем проведем в нем диагонали и продлим их за прямоугольник. Данные диагонали являются асимптотами гиперболы. Ветви гиперболы будут

Рис. 8. Чертеж гиперболы к задаче 3 (б)

располагаться выше и ниже построенного прямоугольника, их вершинами являются точки и. По мере удаления от начала координат ветви гиперболы будут неограниченно приближаться к асимптотам, но никогда их не пересекут.

в) Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси

Рис. 9. Чертеж параболы к задаче 3 (в)

и направленную влево с вершиной в начале координат. Для построения параболы найдем две дополнительные точки. Ими являются, например, и. Можно найти еще несколько точек, вычислив их координаты хотя бы приблизительно.

Задача 4. Привести к каноническому виду уравнение . Найти координаты фокусов. Построить кривую.

Решение.

Сгруппируем слагаемые и дополним до полного квадрата, получим:

; ;

Перенесем начало координат в точку (рис. 10) и применим преобразование координат:,, получим уравнение эллипса:

Полуоси данного эллипса . Так как, тоКоординаты фокусов в новой системе координат:и. Из преобразования координат имеем:,, поэтому фокусы в исходной системе координат таковы:и.

Рис. 10.Чертеж эллипса к задаче 4

Задача 5. Привести уравнение к каноничес-кому виду, выполнить, если это возможно, чертеж.

Решение.

Сгруппируем слагаемые, сразу дополняя каждое из них до полного квадрата:

. Данная кривая распадается на две пересекающихся прямых, задаваемых уравнениями: и(рис. 11).

Рис. 11. Чертеж прямых к задаче 5

Задача 6. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние до точки в два раза больше расстояния до прямой

Решение.

Пусть – произвольная точка искомой кривой. Тогда расстояние. Так как прямаяперпендикулярна оси, то расстояние до нее от точкиравно. Тогда по принятому условию получаем:

.

Возведем обе части полученного равенства в квадрат и проведем необходимые преобразования:

.

Применив преобразование координат ,, получим каноническое уравнение гиперболы:т. е. искомая кривая – это гипербола с центром симметрии.

Задача 7. Привести уравнение к каноническому виду. Определить тип кривой.

Решение.

Применим преобразования (14) – (15), получим:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Приравняем к нулю коэффициент при и, решив тригонометрическое уравнение, найдем:

или ,

откуда или. Очевидно, что эти значения тангенса соответст-вуют двум перпендикулярным направлениям, поэтому достаточно взять одно из них, так как при втором мы просто поменяем местамииВозьмем. Тогда,. Пусть,т. е. совершаем поворот координатных осей на угол. Подставим найденные значенияи в уравнение и получим:

.

Теперь выделяем полные квадраты аналогично случаю приведения к каноническому виду пятичленного уравнения:

, .

Возьмем за новое начало координат точку и, применив преобразование координат,, получим уравнение эллипса:

Полуоси данного эллипса: и.