1. Типы кривых второго порядка

1.1. Основные понятия

Кривой второго порядка называется линия, имеющая в некоторой декартовой системе координат уравнение второй степени относительно x и y:

,

(1)

где

Можно показать, что уравнение (1) может задавать только эллипс, параболу или гиперболу. Остальные случаи будем называть вырожденными. Ниже рассмотрим подробнее все перечисленные типы кривых второго порядка.

1.2. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы эллипса через F₁ и F₂, расстояние между ними назовем фокусным расстоянием и обозначим 2c, а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокуса, через 2a (по усло- вию ).

Введем декартову систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка F1F2. В выбранной таким образом системе координат левый фокус имеет координаты , а пра-вый –(рис. 1)

Рис. 1.Эллипс,

Пусть – произвольная точка эллипса. По определению сумма расстояний от этой точки до фокусов равна 2a. Исходя из этого факта и введя обозначение , получим уравнение эллипса:

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса. Здесь a и b – большая и малая полуоси эллипса. Оси координат будут являться также осями симметрии эллипса.

Рис. 2. Эллипс,

В описанном выше случае . Если фокусыF1 и F2 располагаются на оси ординат симметрично относительно начала координат, т. е. имеют координаты и, то, обозначив сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов 2b и введя , вновь получим уравнение (2), но при этом(рис. 2). Точка называетсяцентром, а точки с координатами и–вершинами эллипса.

Отношение величины расстояния между фокусами к длине большей оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается e.

(3а)

или

(3б)

Отсюда и возникло название кривой: в переводе с греческого эллипс означает «недостаток».

При графическом построении эллипс вписывают в «опорный» прямоугольник, т. е. прямоугольник с центром в начале координат и длинами сторон 2a и 2b.

В случае равенства осей уравнение (2) принимает вид:

(4)

и мы получаем частный случай эллипса – окружность. У окружности расстояние между фокусами равно нулю , оба фокуса при этом совпадают с центром окружности.

Обычно для построения эллипса на осях координат откладывают полуоси и строят прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. При этом длины сторон – и, а серединами сторон являются точкии. Затем в полученный прямоугольник вписывают эллипс.

1.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Введем декартову систему координат аналогично случаю, описанному выше для эллипса, т. е. фокусы имеют координаты и(рис. 3). Каноническое уравнение гиперболы в этом случае будет иметь вид:

(5)

Рис. 3. Гипербола с действительной полуосью

Для гиперболы или. При этомa называется дейст-вительной, а b – мнимой полуосью гиперболы.

При гипербола называетсяравнобочной.

Если же декартова система координат выбрана таким образом, что фокусы имеют координаты и(рис. 4), то каноническое уравнение гиперболы принимает вид:

(6)

В этом случае b называется действительной полуосью, а a – мнимой.

Объединив формулы (5) и (6), получим каноническое уравнение гиперболы в виде:

(7)

Рис. 4. Гипербола с действительной полуосью

Как и в случае с эллипсом, координатные оси являются осями симметрии, а точка – центром симметрии гиперболы. Прямыехарактеризуются следующим свойством: точки гиперболы при удалении от начала координат (при) подходят сколь угодно близко к этим прямым. Прямые с таким свойством называютсяасимптотами.

Точка называетсяцентром гиперболы. Точки с координатами в случае, описанном уравнением (5), и точки с координатами в случае, описанном уравнением (6), называются вершинами гиперболы.

Отношение величины расстояния между фокусами к длине действительной полуоси называется эксцентриситетом гиперболы:

(8а)

или

(8б)

Отсюда и возникло название кривой: в переводе с греческого гипербола означает «избыток».

Для построения гиперболы сначала строим опорный прямоугольник со сторонами длиной и, параллельными осям координат, и серединами сторони. Каждая из двух ветвей гиперболы вписана в бесконечную область, ограниченную продолжением диагоналей опорного прямоугольника и парой его сторон. Положение ветвей определяется знаком в правой части уравнения (7): если он отрицательный, то ветви вписаны в верхнюю и нижнюю области (вершины – точки); если положительный, то в правую и левую (вершины –).