- •Минобрнауки россии
- •Содержание
- •Раздел I теория вероятностей 8
- •Раздел II математическая статистика 73
- •Введение
- •Раздел I теория вероятностей
- •Правило суммы
- •Правило произведения
- •Формулы комбинаторики
- •Размещения без повторения
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторением
- •Сочетания с повторением
- •Перестановки с повторением
- •Лекция 2. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности
- •Пространство элементарных событий
- •Свойства вероятности
- •Лекция 3. Различные определения вероятностей Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Парадокс Бертрана
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Лекция 4. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности
- •Независимые события. Теорема умножения
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Лекция 5. Независимые испытания. Формула Бернулли.
- •Формула Бернулли
- •Наивероятнейшее число
- •Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •Интегральная предельная теорема Лапласа
- •Лекция 6. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики Виды случайных величин. Способы описания дискретной случайной величины
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения
- •Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания дискретной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия некоторых случайных величин
- •Лекция 7. Непрерывная случайная величина и её распределения
- •Нормальное (гауссовское) распределение
- •Равномерное распределение
- •Лекция 8. Математическое ожидание, дисперсия, моменты непрерывной случайной величины
- •Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема
- •Лекция 9. Некоторые модели законов распределений, наиболее распространенных в практике статистических исследований
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Нормальное (гауссовское) распределение
- •4. Логарифмически-нормальное распределение
- •5. Экспоненциальное распределение
- •7. Распределение Стьюдента с степенями свободы
- •8. Распределение Фишера-Снедекора (f-распределение).
- •Раздел II математическая статистика Лекция 1. Генеральная совокупность. Выборка. Способы образования выборки. Статистическая оценка параметров распределения.
- •Задача статистической оценки параметров
- •Точечные оценки основных параметров распределений
- •Лекция 2. Законы распределения выборочных характеристик, используемые при оценке параметров. Интервальные оценки параметров распределения.
- •1. Распределение средней арифметической.
- •2. Распределение Пирсона (- хи квадрат).
- •3. Распределение Стьюдента (t-распределение).
- •Интервальная оценка параметра распределения. Понятие доверительного интервала.
- •Интервальные оценки для генеральной средней.
- •Интервальные оценки для генеральной доли
- •Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •Лекция 3. Проверка статистических гипотез о значении параметров распределения. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.
- •1. Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормально распределённой совокупности
- •2. Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии нормально распределённой совокупности.
- •3. Вычисление мощности критерия
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной средней
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии
- •Лекция 4 Гипотезы о виде закона распределения генеральной совокупности
- •Вычисление теоретического ряда частот
- •Понятие о критериях согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Лекция 5. Элементы корреляционного анализа Задачи корреляционного анализа. Двумерная корреляционная модель
- •Примерные вопросы к экзамену
- •Задачи к экзамену
Геометрическая вероятность
Одним из недостатков классического определения вероятности является конечность группы равновероятностных событий. Поэтому встала задача построения понятия вероятности для случаев, когда мыслится бесконечное, континуальное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие «равновозможности» событий.
Общая задача, которая ставилась и привела к расширению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим образом:
Рассмотрим некоторую область G спрямляемую, квадрируемую или кубируемую, соответственно на плоскости или в пространстве. И другую область , имеющую соответствующую меру. Будем считать, что мера границы областей равна нулю. В областьG наудачу бросается точка. Какова вероятность, что она попадет в область g?
Здесь выражение «точка бросается наудачу в область G» имеет следующий смысл:
Если разделить область G на конечное число равновеликих частей gi (i = 1,2,…,n), то события, состоящие в попадании точки в любую часть gi, считаются равновозможными. Тогда можно считать, что вероятность попадания в какую-либо часть g области G пропорциональна мере этой части и не зависит от ее формы и расположения в области G:
Пример. Задача о встрече: Два лица А и В условились встретиться в определенном месте, между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет в течение 20 минут другого, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течении указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы?
Решение: Пусть x – момент прихода лица А, y – момент прихода лица В. Обозначим через G множество точек плоскости XOY
Тогда условие встречи можно выразить неравенством .
Через область g обозначим подмножество
На рисунке область g выделена цветом. Нетрудно вычислить:
.
Теория геометрической вероятности неоднократно подвергалась критике за произвольность определения вероятности событий. При этом многие авторы приходили к убеждению, что для бесконечного множества исходов нельзя дать объективного, не зависящего от способа решения, определения вероятности. В качестве примера приведем одну задачу известного французского математика Жозефа Бертрана, которая получила название
Парадокс Бертрана
Задача. В круге радиуса R наудачу берется хорда. Чему равна вероятность того, что ее длина окажется больше стороны правильного, вписанного в этот круг треугольника?
Решение 1. Зададим направление хорд (в силу симметрии круга, это не влияет на решение). Проведем диаметр АВ=d=2R перпендикулярный выбранному направлению.
Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр на отрезке [C,D] от до, будут удовлетворять условию задачи. Тогда
.
Решение 2. Закрепим один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности и две стороны правильного треугольника с вершиной в точке касания, образуют углы по 60о.
Хорды, попадающие в средний угол, будут превосходить стороны треугольника COD. Тогда
Решение 3. Чтобы определить положение хорды, достаточно задать ее середину. Хорды, середины которых лежат внутри круга, концентрического с данным кругом, с половинным радиусом, будут удовлетворять условию задачи.
Тогда искомая вероятность равна
.
Причина неоднозначности решения заключается в том, что за решение одной и той же задачи, пользуясь тем, что в условии не определено понятие проведения хорды наудачу, выдаются решения трех различных задач.
В первом решении вдоль одного из диаметров заставляют «катиться» круглый цилиндрический стержень. Множество возможных мест остановок стержня есть множество точек диметра АВ. Равновероятностными считаются события, состоящие в то, что остановка произойдет на отрезке длины h, где бы он не находился внутри отрезка АВ.
Во втором решении стержень закреплен в одной из точек окружности и его заставляют «качаться» в пределах 180о. При этом предполагается, что остановка стержня внутри дуги длиной h зависит только от длины h, но не от ее положения на окружности, т.е. равновероятностными считаются остановки на любом участке окружности длины h.
В третьем решении внутрь круга наудачу «бросается» точка и определяется вероятность ее попадания внутрь некоторого меньшего круга. Здесь равновероятностными считаются попадания точки в любые части исходного круга, имеющие одинаковые площади.
Различие постановок задач очевидно и заключается в неоднозначности понятия проведении хорды наудачу.