8 Балансовые модели в экономике

Формируемые навыки и умения:

- освоение методики построения межотраслевого баланса на планируемый период.

Теоретическая поддержка

Под балансовой моделью понимается система уравне­ний, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами коли­чеством продукции и совокупной потребностью в этой продук­ции.

Важнейшими видами балансовых моделей являются: частные материальные, трудовые и финансовые ба­лансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; межотраслевые балансы; матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.

Балансовые модели относятся к типу матричных экономико-мате­матических моделей. В мат­ричных моделях балансовый метод получает строгое математи­ческое выражение.

В модели межотраслевого баланса все народное хозяйст­во представляется в виде совокупности n отраслей (промышленность, сельское хозяйство и т.д.), каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

Обозначения: х_ij - межотраслевые потоки продукции, где i и j - соответственно номера отраслей производящих и потребляющих; Х_i – валовый выпуск продукции i-ой отрасли; Y_i – конечная продукция i-ой отрасли, ,.

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса (МОБ) составляет техноло­гическая матрица, содержащая коэффициенты прямых мате­риальных затрат на производство единицы продукции ,где а_ij называются коэффициентами прямых материа­льных затрат и рассчитываются следующим образом:

. (8.1)

Коэффициент прямых материальных затрат а_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

Систему уравнений баланса можно записать в виде

(8.2)

или в матричной форме

X = AX + Y. (8.3)

Система уравнений (8.2) или (8.3) назы­вается экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева) или моделью «затраты – вы­пуск». С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1) задав в модели величины валовой продукции каждой от­расли (X_i), можно определить объем конечной продукции каж­дой отрасли (Y_i):

Y = (Е - А) ∙ Х; (8.4)

2) задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Х_i):

X = (E – A)^-1 ∙ Y ; (8.5)

3) для ряда отраслей – задавая величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продук­ции, можно найти величины конечной продукции первых от­раслей и объемы валовой продукции вторых; в этом варианте расчета удобнее пользоваться системой линейных уравнений (8.2).

В формулах (8.4) и (8.5) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, a (E – A)^-1 обозначает матрицу, обратную к матри­це (Е - А). Обозначив обратную матрицу через В, систему уравнений в матричной форме (8.5) можно запи­сать в виде

X = B ∙ Y. (8.6)

Матрица есть матрица коэффициентов полных затрат.Коэффициенты полных затрат b_ij показыва­ют, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно применять тогда, когда необходимо определить, как скажется на ва­ловом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

, (8.7)

где ΔХ_i и ΔY_j - изменения (приросты) величин валовой и конеч­ной продукции соответственно.

Пример решения задачи

Постановка задачи. Для трех отраслей за отчетный период известны межотраслевые потоки х_ij и вектор объемов конечного использования Y_отч. Предполагаем, что в плановом периоде технология производства не изменится.

Требуется:

1) рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановом периоде известен покупательский спрос Y_пл;

2) привести числовую схему баланса;

3) проанализировать полученные результаты.

Таблица 8.1 – Исходные данные

Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Yотч	Yпл
	I	II	III
I	40	15	20	50	200
II	20	45	40	45	300
III	20	15	10	55	150

Решение задачи

1 Заносим исходные данные баланса в электронную таблицу Excel (таблица 8.2).

Таблица 8.2 – Исходные данные

	А	В	С	D	E	F
1	Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Yотч	Xотч
2		I	II	III
3	I	40	15	20	50
4	II	20	45	40	45
5	III	20	15	10	55
6	Zотч
7	Xотч

Элементы Х_отч рассчитываем по формуле

. (8.8)

Для этого курсор помещаем в ячейку F3 для Х₁, используем функцию СУММ(В3:Е3), где в качестве аргументов берем элементы первой строки, затем копируем эту формулу в остальные ячейки (F3:F5) столбца Х_отч. Переписываем полученные значения в строчку Х_отч внизу (В7:D7).

Результаты расчета представлены в таблице 8.3.

Таблица 8.3 – Расчет валового продукта

	А	В	С	D	E	F
1	Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Yотч	Xотч
2		I	II	III
3	I	40	15	20	50	125
4	II	20	45	40	45	150
5	III	20	15	10	55	100
6	Zотч
7	Xотч	125	150	100		375

2 Строим технологическую матрицу А, содержащую коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции.

Строим таблицу для матрицы размером 3x3 в ячейках А10:С12. В ячейке А10 записываем формулу (8.1) для расчета коэффициентов прямых материальных затрат.

Например, для х₁₁ = B3/B$7, где В$7 - адрес Х₁ в столбце. Чтобы скопировать эту формулу дальше, в знаменателе перед цифрой в адресе ставим знак $. Далее эту формулу копируем по матрице (таблица 8.4).

Таблица 8.4 – Технологическая матрица А

	А	B	C
9	Технологическая матрица А
10	0,32	0,1	0,2
11	0,16	0,3	0,4
12	0,16	0,1	0,1

3 Строим единичную матрицу Е. Для этого в ячейках E10:G12 размещаем по диагонали три единицы, остальные клетки оставляем свободными (таблица 8.5).

Таблица 8.5 – Единичная матрица Е

	Е	F	G
9	Единичная матрица Е
10	1
11		1
12			1

4 Строим матрицу (Е-А). Для этого строим таблицу для матрицы размером 3x3 в ячейках А15:С17. В ячейке А15 записываем формулу для расчета элемента матрицы (=Е10-А10), а дальше формулу копируем по матрице (таблица 8.6).

Таблица 8.6 – Матрица (Е-А)

	А	B	C
14	Матрица (Е-А)
15	0,68	-0,1	-0,2
16	-0,16	0,7	-0,4
17	-0,16	-0,1	0,9

5 Строим матрицу В коэффициентов полных материальных затрат. Для этого:

а) выделяем массив 3x3 в ячейках Е15:G17 под матрицу В;

б) вызываем функцию МОБР;

в) вводим в поле Массив диапазон А15:С17, в котором размещена матрица (Е-А);

г) нажимаем Ctrl-Shift и одновременно Enter.

В результате в выделенном массиве появится матрица В (таблица 8.7).

Таблица 8.7 – Матрица В

	Е	F	G
14	Матрица В
15	1,663	0,310	0,507
16	0,586	1,635	0,857
17	0,361	0,237	1,297

6 Строим результирующую матрицу (таблица 8.8).

Таблица 8.8 – Баланс на планируемый период

	А	В	С	D	E	F
19	Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Yпл	Xпл
20		I	II	III
21	I	160,541	73,619	67,531	200	501,691
22	II	80,271	220,857	135,062	300	736,189
23	III	80,271	73,619	33,766	150	337,655
24	Zпл	180,609	368,095	101,297	650
25	Xпл	501,691	736,189	337,655		1575,536

В столбец Y_пл вписываем значения Y_пл из условия. Столбец Х_пл рассчитыва­ем следующим образом:

а) выделяем массив ячеек F21:F23 (столбец Х_пл);

б) вызываем функцию МУМНОЖ;

в) вносим данные: Массив 1 - матрица В (ячейки Е15:G17), Массив 2 - вектор Y_пл (ячейки Е21:Е23);

г) нажимаем Ctrl-Shift-Enter одновременно.

7 Переписываем значение Х_пл вниз в строку В25:D25 (таблица 8.8).

8 Рассчитываем элементы таблицы , (например, х₁₁ = А10*В$25). Опять в адресе Х_j перед цифрой ставим $ и затем копируем формулу в нужные клетки таблицы (таблица 8.8).

9 Рассчитываем валовую добавленную стоимость j-x отраслей по формуле

Z_j = Х_j - СУММ(х_ij).

Для этого в ячейке В24 записываем формулу «=В25-СУММ(В21:В23)» и копируем формулу в нужные ячейки (таблица 8.8).

10 Проверяем, выполняется ли балансовое соотношение (ячейка Е24)

.

11 Рассчитываем балансовое соотношение и заносим в правую нижнюю клетку F25

.

12 Анализируем полученные результаты.

Определили межотраслевые потоки х_ij в плановом периоде; валовый продукт Х_j; национальный доход Z_пл.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Для шести отраслей за отчетный период известны межотраслевые потоки х_ij и вектор объемов конечного использования Y_отч. Предполагаем, что в плановом периоде технология производства не изменится.

Требуется:

1. Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плано­вом периоде известен вектор конечной продукции Y_пл.

2. Привести числовую схему баланса.

3. Проанализировать полученные результаты.

Вариант 1	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	36	42	27	37	19	16	110
	II	47	38	45	56	37	59	70
	III	17	19	30	20	15	16	90
	IV	33	46	17	36	15	45	70
	V	35	36	25	27	29	37	88
	VI	45	47	35	46	32	25	56

Вариант 2	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	87	95	76	57	65	46	97
	II	86	46	56	37	46	65	56
	III	89	68	76	78	59	19	66
	IV	35	46	43	68	54	45	98
	V	44	37	38	72	29	47	102
	VI	54	47	57	46	32	25	63

Вариант 3	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	20	10	20	30	15	30	90
	II	40	30	40	50	30	50	60
	III	17	19	30	20	15	16	80
	IV	37	42	10	33	10	45	90
	V	44	37	38	72	29	45	80
	VI	45	47	35	46	32	25	50

Вариант 4	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	35	10	20	30	15	25	50
	II	10	30	10	25	25	40	70
	III	17	19	30	20	15	16	30
	IV	20	20	10	40	10	20	70
	V	35	36	25	27	29	30	80
	VI	45	40	35	40	30	20	40

Вариант 5	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	63	75	80	52	90	25	79
	II	56	32	46	58	38	65	87
	III	15	25	66	87	46	19	88
	IV	33	46	24	68	54	45	112
	V	44	37	23	72	29	47	95
	VI	54	47	35	46	32	25	56

Вариант 6	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	65	73	86	46	92	23	99
	II	56	32	46	58	38	65	87
	III	13	23	66	87	46	19	88
	IV	35	46	24	68	54	45	112
	V	44	37	23	72	29	47	95
	VI	54	47	35	46	32	25	56

Вариант 7	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	85	38	46	25	67	44	85
	II	47	88	54	46	28	45	65
	III	13	23	66	87	46	19	88
	IV	35	46	24	68	54	45	112
	V	44	37	23	72	29	47	95
	VI	54	47	35	46	32	25	56

Вариант 8	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	67	45	32	44	64	88	87
	II	54	64	45	78	12	65	78
	III	32	23	66	62	46	32	88
	IV	45	46	65	87	54	11	115
	V	44	37	66	72	29	47	96
	VI	54	47	35	66	32	25	65

Вариант 9	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	76	54	23	44	46	88	78
	II	45	46	54	87	21	56	87
	III	23	32	66	26	64	23	88
	IV	54	64	56	78	45	11	115
	V	44	37	66	72	29	47	96
	VI	54	47	35	66	32	25	65

Вариант 10	Отрасль	I	II	III	IV	V	VI	Yотч
	I	86	64	33	54	76	98	88
	II	55	56	64	97	31	66	97
	III	33	42	76	36	74	33	98
	IV	64	74	66	88	55	21	105
	V	54	47	76	82	39	57	96
	VI	64	57	45	76	42	35	65

Задача 2

Для трех отраслей за отчетный период известны данные о межотраслевых потоках х_ij и векторе объемов конечного использования Y_отч.

Определить:

1) матрицу коэффициентов прямых затрат А;

2) матрицу «затраты-выпуск» (Е-А);

3) объемы конечного использования продукции Y_пл при условии, что в плано­вом периоде известен валовый выпуск продукции Х_пл;

4) результаты представить в виде балансовой таблицы.

Вариант 1

Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Конечный продукт Yотч
	I	II	III
I	80	15	25	80
II	10	60	5	225
III	10	30	30	30

Вариант 2

Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Конечный продукт Yотч
	I	II	III
I	36	30	16	38
II	30	20	10	40
III	24	10	8	8

Вариант 3

Отрасль	Межотраслевые потоки хij			Конечный продукт Yотч
	I	II	III
I	40	15	20	50
II	20	45	40	45
III	20	15	10	55