4 Многоканальная смо с ожиданием и ограничением на длину очереди

Пусть в n-канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью λ; число мест в очереди ограничено и равно m. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением .

Таблица 5.5 – Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)	.
2	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящийся на один канал
3	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)

Продолжение таблицы 5.5

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
4	Вероятности состояний СМО
5	Вероятность отказа заявке
6	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
7	Относительная пропускная способность
8	Абсолютная пропускная способность
9	Среднее число занятых каналов (т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием)
10	Среднее число заявок, находящихся в очереди
11	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе
14	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ

5 Многоканальная смо с неограниченной длиной очере­ди

Рассмотрим СМО, состоящую из n ≥ 1 каналов обслуживания, с ожиданием и без ограничения на длину очереди. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда все n каналов заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания. Любая пришедшая заявка будет обслужена. Поток заявок и поток обслуживаний каждым каналом – простейшие с интенсивностью соответственно λ и μ.

Таблица 5.6 – Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящийся на один канал
3	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)
4	Вероятности состояний СМО
5	Вероятность отказа заявке
6	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
7	Относительная пропускная способность
8	Абсолютная пропускная способность
9	Среднее число занятых каналов (т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием)
10	Среднее число заявок, находящихся в очереди
11	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе
14	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ

Пример решения задачи

Постановка задачи. Пусть рампа супермаркета по приему товара оборудована тремя раз­грузочными площадками, каждая из которых одномоментно может об­служивать только один автомобиль, прибывший от любого из трех опто­вых поставщиков. Автомобили с товаром прибывают в случайные мо­менты времени, поскольку усилия менеджера по регуляризации поста­вок успеха пока что не имели. Установить какой-либо график прибытия автомобилей не удается, и поэтому приходится мириться со стихией слу­чайности, но действовать при этом по возможности оптимально.

Интенсивность поступления товара от каждого из поставщиков при­мерно одинакова, и прибытие автомобилей от каждого из них происходит в среднем через каждый 1,5 часа, так что суммарно на разгрузку прибыва­ет в среднем два автомобиля в течение часа, каждый из которых либо разгружается немедленно на любой из свободных площадок, либо ожида­ет разгрузки до освобождения одной из них. Среднее время, затрачивае­мое на обслуживание одного автомобиля, составляет 84 мин.

Требуется проанализировать работу системы приемки товара и выра­ботать возможные рекомендации по улучшению работы рампы в услови­ях случайности прибытия автомобилей с товаром.

Решение задачи

Запишем представленное в условии задачи описание системы, исполь­зуя введенные ранее обозначения: n = 3;  = 2 (авт./ч); Т_об = 84 мин = 1,4 ч; μ = 1 / Т_об = 1/1,4 = = 0,7143 (авт./ч), ρ = λ / μ = 2/0,7143 = 2,8 (эрланга).

Проверяем выполнение условия существования стационарного ре­жима работы системы:

.

Поскольку найденная величина больше интенсивности входного по­тока заявок (nμ > ), то условие существования финальных вероятнос­тей выполнено.

Показатель нагрузки, приходящийся на один канал, рассчитаем по формуле (см. 2-ю строку таблицы 5.6):

.

Вычислим вероятность свободного состояния СМО р₀=0,016 (см. 3-ю строку таблицы 5.6). Сред­нее число заявок в очереди (см. 10-ю строку таблицы 5.6). Среднее число заявок в системе(см. 11-ю строку таблицы 5.6).

Применяя формулы Литтла (см. 12-ю и 13-ю строки таблицы 5.6), находим:

- среднее время ожидания заявки в очереди

- среднее время пребывания заявки в системе .

От поставщиков стали поступать нарекания на то, что время приемки товара неприемлемо велико, и требования закрепления за ними постоян­ного места на рампе с целью рационализации этого процесса.

Фактически эти требования сводятся к разделению трехканальной СМО на три одноканальные с соответствующим разделением входного потока заявок на три равные части. Таким образом, перед нами встает задача анализа одной из таких СМО, поскольку все они одинаковы.

Каждой из трех одноканальных систем после рационализации соот­ветствуют следующие исходные данные: n = 1;  = 2/3 (авт./ч); Т_об = 1,4 ч; μ = 0,7143 (авт./ч), ρ = λ / μ = 0,9333 (эрланга).

Находим: р₀=0,067; ;;;.

Сравнивая одноканальную систему с прежней, трехканальной, заме­чаем, что число заявок в очереди увеличилось, хотя и незначительно. Но надо учитывать, что очередь со средней длиной 13,1 устанавливается к каждой из трех площадок. Поэтому в целом на рампе будут ожидать разгрузки в среднем примерно 39,3 заявок, что значительно превышает среднюю длину очереди к трехканальной системе. Это может привести к нарушению работы всего процесса приемки товара. Сильно возросло сред­нее время пребывания автомобиля в системе и стало равно 21 ч.

Учитывая проведенный анализ, приходим к выводу, что задуманная рационализация нецелесообразна. Однако с таким выводом не следует спешить. Не исключено, что поставщики сами займутся регуляризацией поставки товара, например, установив четкое расписание отправки товара, что создаст возможность ритмичной работы бригад по приемке товара. Иначе говоря, в процессе приемки случайности будут исключены, а очере­ди исчезнут. Но если же на регуляризацию потоков заявок рассчитывать не приходится, то трехканальная система сохраняется в неизменном виде.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В небольшом магазине покупателей обслуживает один продавец. Среднее время обслуживания одного покупате­ля - 4 мин. Интенсивность потока покупателей — 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 20 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 20 человек, не ждет снаружи и уходит. Определить вероятность того, что пришедший в магазин покупатель полу­чит отказ, т.е. что магазин потеряет покупателя. Определить предельные характеристики эффективности функционирования СМО.

Задача 2. Справочная служба крупного торгового центра имеет один телефон, по которому дает справки о наличии товара в отделах торгового центра. Эта служба полу­чает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скорос­тью в среднем 10 запросов/час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания — 12 запросов/час. Определить предельные характеристики эффективности функционирования СМО.

Задача 3. Фирма «Модерн» предлагает своим клиентам помощь в ди­зайне магазинов. В нормальном режиме за каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые реко­мендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин.

Предполагая пуассоновское распределение времени прибы­тия и экспоненциальное распределение продолжительности об­служивания, определить:

1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслу­живания;

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется не­занятой.

Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей оче­реди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то, что необходимо предпринять? Предположим, что консультант способен уменьшить среднее вре­мя, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой станет сред­няя скорость обслуживания? Будет ли достигнута желаемая цель?

Задача 4. Торговая фирма планирует принимать заказы клиентов по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить пер­сонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с нескольки­ми телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 2,5 заказа/мин. Длитель­ность же оформления заказа в среднем будет равна 0,8 мин. Определить, какое минимальное количество каналов обслу­живания необходимо, чтобы обслуживать не менее 90 % посту­пающих заказов. Рассчитать основные показатели работы СМО.

Задача 5. Есть возможность спроектировать две СМО с отказами. В первой СМО производительность каждого канала равна 10 заявок в час, во второй — 18 заявок в час. Система должна обеспечивать вероятность обслуживания р_об = 0,95 при интенсивности входящего потока заявок, равной 45 заявок в час. Определить количество каналов для каждой СМО. Задачу решить графически — построить графики зависимости вероятности обслуживания р_об от числа каналов для обеих СМО.

Задача 6. В магазине самообслуживания установлено 3 кассовых аппа­рата. В течение часа магазин посещают 96 чел., наибольшая очередь к кассе — 8 чел., среднее время обслуживания клиента — 2,5 мин. Считая поток покупателей простейшим, определить основ­ные характеристики СМО.

Задача 7. Рассмотрим работу магазина, торгующего по методу самообслуживания, в котором имеется 2 кассы. Обслуживание одного покупателя длится приблизительно 2 мин. В среднем касса каждую минуту обслуживает покупателя. Все потоки в системе простейшие.

Определить:

1) вероятность того, что в системе нет требований;

2) среднее число требований в очереди;

3) среднее время ожидания;

4) среднее время, которое требование проводит в системе;

5) вероятность того, что прибывающему требованию придет­ся ждать обслуживания.

Пусть цель обслуживания состоит в том, чтобы обеспечить состо­яние, при котором в среднем не более 25 % требований вынуждены ждать. Предположим, что система расширилась до трехканальной. Выполняется ли это условие в данном случае?

Задача 8. В районной налоговой инспекции в отделе по налогообложению физических лиц работает три инспектора. В среднем на оформление документов уходит минут двадцать. Население в часы приема в среднем обращается по три человека в час. Определить основные характеристики данной СМО.