- •Практикум
- •По курсу
- •«Экономико-математические
- •Методы и модели»
- •Содержание
- •Предисловие
- •1 Модель общей задачи линейного программирования
- •2 Транспортные задачи в моделировании
- •3 Экономико-статистическое моделирование и прогнозирование средствами ms Excel
- •4 Модели управления товарными запасами
- •1 Модели управления однономенклатурными запасами
- •1.1 Простейшая модель оптимального размера партии поставки
- •1.2 Модель с конечной интенсивностью поступления заказа
- •1.3 Модель с учетом неудовлетворенных требований
- •1.4 Модель с потерей неудовлетворенных требований.
- •1.5 Модель с определением точки заказа
- •2 Модели управления многономенклатурными запасами
- •5 Системы массового обслуживания
- •1 Одноканальная смо с ожиданием и ограничением на длину очереди
- •2 Одноканальная смо с ожиданием
- •3 Многоканальная смо с отказами
- •4 Многоканальная смо с ожиданием и ограничением на длину очереди
- •5 Многоканальная смо с неограниченной длиной очереди
- •6 Модели сетевого планирования и управления
- •1 Построение сетевого графика и расчет основных параметров сетевой модели
- •5) Определить, на сколько дней можно отложить выполнение работы a6 без отсрочки завершения проекта в целом?
- •2 Оптимизация сетевого графика по времени
- •7 Применение элементов теории игр при принятии управленческих решений
- •1 Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях
- •2 Решение статистических игр по различным критериям
- •8 Балансовые модели в экономике
- •Литература
- •Приложение а Критические значения f-критерия (распределение Фишера)
- •Приложение б Распределение Стьюдента (t-распределение)
7 Применение элементов теории игр при принятии управленческих решений
-
Формируемые навыки и умения:
- изучение математического аппарата теории игр;
- освоение методики решения матричных игр в чистых стратегиях;
- освоение методики решения матричных игр в смешанных стратегиях;
- освоение методики решения статистических игр по различным критериям.
Теоретическая поддержка
Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.
На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов.
Любая экономическая ситуация в торговле складывается в результате взаимодействия (поведения) совокупности элементов: торговых организаций, предприятий, объединений и т. д. Их поведение зависит от целого ряда факторов, которые не всегда можно заранее предвидеть, например конъюнктура рынка, спрос населения на товары, поставки товаров и т. д. Информированность о состоянии, действиях указанных элементов влияет на эффективность принимаемых экономических решений в торговле и обусловливает необходимость и целесообразность построения моделей теории игр.
1 Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях
Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В – минимальный проигрыш.
Предположим, что игроку А надлежит сделать свой выбор. Анализируя платежную матрицу, он для каждой чистой стратегии Ai сначала найдет минимальное значениеαi ожидаемого выигрыша: , а затем из всехαi выделит наибольшееи выберет соответствующую ему чистую стратегию. Это и будет наиболее предпочтительная (гарантирующая) в данных условиях стратегия игрокаА. Ее называют максиминной, поскольку она отвечает величине
. (7.1)
Число α, определяемое по формуле (7.1), называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока В.
В свою очередь, игрок В, стремясь минимизировать проигрыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии, использует принцип осторожности так: сначала он для каждой чистой стратегии Вj () найдет максимально возможный проигрыш(), а затем средиβj выберет минимальное значение , которому и будет соответствовать искомая чистая стратегия. Ее называютминимаксной, так как она соответствует величине
. (7.2)
Число β, определяемое по формуле (7.2), называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш может быть у игрока В при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.
Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены совпадают, т.е. α = β, то эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β. Оптимальными для игроков будут соответственно максиминная и минимаксная стратегии, а чистой ценой игры – седловой элемент платежной матрицы. Если игра седловой точки не имеет, то решение игры следует найти в смешанных стратегиях.
Обозначим через р1, ..., рm вероятности, с которыми игрок А использует в ходе игры свои чистые стратегии A1, ..., Аm. Для вероятностей рi выполняются условия:
. (7.3)
Упорядоченное множество , элементы которого удовлетворяют условиям (7.3), полностью определяет характер игры игрокаА и называется его смешанной стратегией.
Аналогично упорядоченное множество , элементы которого удовлетворяют соотношениям
, (7.4)
является смешанной стратегией игрока В.
Итак, пусть игроки А и В применяют смешанные стратегии р и q. Это означает, что игрок А использует стратегию Ai с вероятностью pi, а игрок В – стратегию Вj с вероятностью qj. При использовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер, случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В). В связи с этим можно вести речь лишь о средней величине (математическом ожидании) выигрыша (проигрыша). Эта величина является функцией от смешанных стратегий р и q и определяется по формуле
. (7.5)
Функция (7.5) называется платежной функцией игры с матрицей.
Нижней ценой игры будем называть число α, определяемое по формуле ,a верхней ценой игры – число β, определяемое по формуле
. (7.6)
Оптимальными являются смешанные стратегии р* и q* игроков А и В, удовлетворяющие равенству
==. (7.7)
Величину , полученную по формуле (7.7), называютценой игры v.
Пример решения задачи
Постановка задачи. На каждой из двух торговых баз ассортиментный минимум составляет одинаковый набор товаров из четырех видов. Магазины, обозначим их А и В, конкурируют между собой. Один и тот же вид товара в обоих магазинах продается по одной и той же цене. Однако товар, поставляемый в магазин В, более высокого качества. Если магазин А завезет с базы товар, отличный от товара, завезенного в магазин В, то товар будет пользоваться спросом, и магазин А от его реализации получит прибыль с, денежных единиц. Если же в магазины А и В завезены товары одинакового вида, то товар в магазине А спросом пользоваться не будет, поскольку такой же товар, по такой же цене, но более высокого качества, можно купить в магазине В, и потому магазин А понесет убытки по хранению и, возможно, порче товара в размере d, денежных единиц.
Требуется формализовать конфликтную ситуацию, построить матрицу игры и дать рекомендации по выбору оптимальной смешанной стратегии магазина А при следующих числовых данных:
с1 |
с2 |
с3 |
с4 |
d1 |
d2 |
d3 |
d4 |
17 |
11 |
23 |
5 |
13 |
12 |
20 |
7 |
Решение задачи
1 Представим данную ситуацию в виде матричной игры. У руководства магазина А четыре стратегии: Аi - продавать товар i-го вида (i = 1,4). Аналогично у руководства магазина В стратегии Вj - продавать товар j-го вида (j = 1,4).
Построим платежную матрицу данной игры на рабочем листе MS Excel в ячейках А1:Е5 (таблица 7.1).
Таблица 7.1 – Платежная матрица
-
А
В
С
D
E
1
В1
В2
В3
В4
2
А1
-13
17
17
17
3
А2
11
-12
11
11
4
А3
23
23
-20
23
5
А4
5
5
5
-7
Определим, имеет ли игра оптимальное решение в чистых стратегиях, т.е. проверим наличие седловой точки. Чтобы рассчитать верхнюю и нижнюю чистые цены игры, в столбец аi (F1:F5) вводим функцию МИН, а в строку βj (A6:E6) - функцию МАКС, получаем матрицу следующего вида (таблица 7.2).
Таблица 7.2 – Определение седловой точки
-
А
В
С
D
E
F
1
В1
В2
В3
В4
ai
2
А1
-13
17
17
17
-13
3
А2
11
-12
11
11
-12
4
А3
23
23
-20
23
-20
5
А4
5
5
5
-7
-7
6
βj
23
23
17
23
Далее аналогично вычисляем:
; .
Так как а β, то игра не имеет решения в чистых стратегиях.
2 Решение игры в смешанных стратегиях
2.1 Преобразование платежной матрицы. Чтобы свести игру к задаче линейного программирования, увеличим все элементы платежной матрицы на 20 (таблица 7.3).
Таблица 7.3 – Преобразование платежной матрицы
-
А
В
С
D
E
1
В1
В2
В3
В4
2
А1
7
37
37
37
3
А2
31
8
31
31
4
А3
43
43
0
43
5
А4
25
25
25
13
2.2 Построение математической модели.
Задача линейного программирования для игрока А:
где ,pj – вероятность, с которой игрок А применяет свою j-ю чистую стратегию, v - цена игры.
2.3. Технология решения задачи средствами Excel. Строим следующую таблицу (таблица 7.4).
Таблица 7.4 – Решение задачи в Excel
|
А |
В |
С |
D |
E |
F |
G |
H |
1 |
Имя
|
Переменные |
|
|
| |||
2 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
|
|
| |
3 |
Значение |
0,0129 |
0,0168 |
0,009 |
0 |
|
|
|
4 |
Нижняя граница |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Верхняя граница |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
ЦФ |
Направление ЦФ |
|
7 |
Коэффициент ЦФ |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,039 |
min |
|
8 |
|
Ограничения | ||||||
9 |
Вид |
|
|
|
|
левая часть |
знак |
правая часть |
10 |
1 |
7 |
31 |
43 |
25 |
1 |
> |
1 |
11 |
2 |
37 |
8 |
43 |
25 |
1 |
> |
1 |
12 |
3 |
37 |
31 |
0 |
25 |
1 |
> |
1 |
13 |
4 |
37 |
31 |
43 |
13 |
1,387 |
> |
1 |
Решив данную задачу средствами Excel, получаем:
х1 = 0,0129; х2 = 0,0168; х3 = 0,009; fmin = 0,039.
Для определения смешанной стратегии, воспользуемся формулами:
.
Отсюда смешанная стратегия: р = (0,333; 0,434; 0,233; 0), N =25,79.
3 Анализ полученных результатов
Итак, оптимальной стратегией магазина А будет продажа товаров в следующей пропорции: 33,3 % товара 1-го вида; 43,4 % товара 2-го вида; 23,3 % товара 3-го вида. Средняя прибыль составит 25,79 ден. ед.