matematika

1.Определители и матрицы

1.1.Вычисление определителей

Определитель второго порядка

a11 a12 a11a22 a12a21. a21 a22

Метод треугольников для определителя третьего порядка

Минором элемента aij называется определитель Mij, полученный из данного определителя путем вычеркивания элементов i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор Mij со знаком ( 1)i j j: Aij ( 1)i j Mij.

Разложение определителя по строке

1.2. Действия с матрицами

Сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Для квадратной невырожденной матрицы A существует обратная матрица A–1 такая, что A A 1 E (единичная матрица).

3

Матрица, составленная из алгебраических дополнений

A11 A12 A13 A A21 A22 A23 .

A31 A32 A33

Союзная или присоединенная матрица получается из матрицы A*

4

1.3.Системы линейных уравнений

Система n линейных уравнений с n неизвестными

Правило Крамера

A – матрица коэффициентов,

A – расширенная матрица (включает столбец свободных членов B). Число r называется рангом матрицы, если среди миноров порядка r

этой матрицы есть хотя бы один, отличный от 0, а все миноры большего порядка равны 0.

rA – ранг матрицы коэффициентов, rA – ранг расширенной матрицы.

5

Теорема Кронекера-Капелли: система совместна (имеет решение) то-

гда и только тогда, когда rA = rA .

Вслучае rA = rA = n решение системы единственно.

Вслучае rA = rA n система имеет бесконечно много решений.

Вслучае rA < rA система несовместна (не имеет решения).

2.Векторная алгебра

2.1.Деление отрезка в заданном отношении

Точка C(x,y,z) делит отрезок AB (A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)) в отношении ,

2.2. Базис векторов

Линейной комбинацией векторов v1,v2, ,vn называется сумма этих векторов, взятых с некоторыми коэффициентами a1,a2, ,an, т.е. вектор

a a1v1 a2v2 anvn.

Векторы v1,v2, ,vn называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю только при a1 a2 an 0. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из векторов выражается через остальные векторы в виде их линейной комбинации.

Коллинеарные векторы линейно зависимы, компланарные векторы также линейно зависимы.

Базис векторов: взятые в определенном порядке линейно независимые векторы, через которые можно выразить любой вектор. Коэффициенты линейной комбинации, выражающей данный вектор через базисные, называются координатами вектора в этом базисе.

Базис на плоскости: любые два неколлинеарных вектора e1,e2, взятых в определенном порядке. Любой вектор выражается через базисные векторы: a a1 e1 a2 e2, где a1,a2 – координаты вектора a в базисе e1,e2.

Базис в пространстве: любые три некомпланарных вектора e1,e2,e3, взятых в определенном порядке. Любой вектор выражается через базисные векторы: a a1 e1 a2 e2 a3 e3 , где a1,a2,a3 – координаты вектора a в базисе e1,e2,e3.

2.3. Скалярное произведение векторов

6

Условие ортогональности векторов a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0.

cos2 α cos2 β cos2 1.