L06-Механика сплошных сред

Теорема о неразрывности струи применима к

реальным жидкостям и даже к газам в том случае,

когда сжимаемостью их можно пренебречь. Расчет

показывает, что при движении жидкостей и газов со

скоростями, меньшими скорости звука, их с

достаточной степенью точности можно считать

несжимаемыми.

i

§ 51. Уравнение Бернулли

al

t

n

Во многих случаях можно считать, что перемещение

одних частей жидкости относительно других не

связано с возникновением сил тренияi. Жидкость, в

de

f

которой внутреннее трение (вязкость) полностью

отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущейon

идеальной жидкости

в поле силы тяготения трубку тока малого сечения

C

(рис.). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный

y

стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям

тока сечениями S1 и S2. Причем жидкость втекает с

одной скоростью v1, а вытекает с другой v2, что

обеспечено разными давлениями Р1 и Р2 на входе и

выходеpanиз трубки.

m

o

C

al

i

.

t

За время t

de

этот объем переместится вдольnтрубки

тока, причем сечение S1 переместится в положение

i

f

S1’ пройдя путь l1 , сечение S2’ переместится в

положение S2, пройдя путь l2 .

В силу неразрывности струи заштрихованные объемы

будут иметь одинаковую величинуon : V1 =

V2 = V

Поскольку течение стационарное, то приращение

энергии E

C

всего рассматриваемого объема можно

y

вычислить как разность энергий заштрихованных

объемчиков

V1

и V2 .

Возьмемpanсечение трубки тока и отрезки l

настолько

малыми, чтобы всем точкам каждого из

заштрихованныхm

объемчиков можно было приписать

o

одно и то же значение скорости V, давления P и

высоты h. Тогда приращение кинетической энергии

C

запишется следующим образом:

силами давления. Силы давления на боковую

поверхность перпендикулярны в каждой точке к

al

направлению перемещения частиц, к которым они

i

приложены, вследствие чего работы не совершают.

n

Отлична от нуля лишь работа сил, приложенныхtк

сечениям S1 и S2. Эта работа равна

i

f

Приравнивая полученные выраженияde, получим:

on

C

y

Поскольку сечения S1 и S2 произвольны, то можно

утверждать, что в любом сечении трубки тока

pan

выражение

имеет одинаковое значение. В соответствии со

m

Это уравнение Бернулли. Оно хорошо выполняется

i

не только для идеальных, но и для реальных

al

t

жидкостей, внутреннее трение в которых не очень

велико.

n

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из

i

уравнения Бернулли.

de

f

1. Если жидкость течет так, что скорость имеет во

всех точках одинаковую величину. Тогда согласно

для двух произвольных точекonлюбой линии тока будет

выполняться равенство

C

y

откуда следует, что распределение давления в этом

случае будет таким же, как в покоящейся жидкости

2. Для горизонтальной линии тока получаем

pan

т. е. давление оказывается меньшим в тех точках, где

m

скорость больше.

o

C3. Применим уравнение Бернулли к случаю истечения

al

Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим

t

сечением с одной стороны открытую поверхностьi

n

жидкости в сосуде, а с другой стороны - отверстие,

de

через которое жидкость вытекает (рис.).

f

Давления в обоих сечениях равны атмосферному и

поэтому одинаковы. Скорость перемещенияi

открытой

on

поверхности в широком сосуде можно положить

равной нулю. Тогда уравнение применительно к

C

данному случаю можно написать в виде

Вводя

y

- высоту открытой поверхности

жидкости над отверстием, получаем:

Эта формула называется формулой Торричелли.

Скоростьpanистечения жидкости из отверстия,

o

расположенного на глубине h под открытой

C

, совпадает со скоростью, которую

поверхностьюm

Введение в жидкость прибора для измерения

давления, вообще говоря, нарушает характер

движения жидкости, а, следовательно, может

al

изменить и величину измеряемого давления. Поэтому

надо применять специальные меры.

i

t

n

de

i

on

Поместим в жидкость изогнутуюfманометрическую

трубку с входным отверстием, обращенным навстречу

C

потоку (рис.). Это трубка Пито. Скорость вдоль линии

o

ρv2

. Следовательно, манометр покажет

величину

C

давлениеm

2

Если в тонкой изогнутой трубке сделать боковые

отверстия, то скорость (а следовательно, и давлениеi )

al

t

вблизи таких отверстий будет мало отличаться от

скорости (и давления) невозмущенного потока (рис.).

n

Поэтому манометр, присоединенный к такой трубке,

называемой зондом, покажет статическое давление

жидкости р.

ide

f

Зная полное и статическое давления, можно найти

ρv2

динамическое давление

on, а следовательно, и

2

скорость течения.

C

y

§ 53. Применения к движению жидкости закона

сохранения импульса

К жидкостям и газам, как и к другим телам, приме-

pan

ним закон сохранения импульса. Используем этот

закон для решения некоторых задач.

m

o

1. Реакция текущей жидкости на стенки изогнутой

Cтрубы.

al

i

В силу неразрывности струи скорость в каждом

n

сечении будет одинакова по величине и равнаtV.

Sv

t

de

Рассмотрим объем изогнутого участка трубы,

ограниченного сечениями S12. За время t в этот

i

f

объем будет втекать через сечение S1 количество

жидкости

, обладающее импульсом

Одновременно из этого объема будет вытекать через

сечение S2 такое же количествоonжидкости,

y

= ρSvV

t

CK

2

. Таким

обладающее импульсом

2

pan

образом, стенки изогнутого участка трубы сообщают

за время

t текущей мимо них жидкости

приращение импульса

m

K

= ρSv(V2 − V1) t

o

Приращение импульса тела за единицу времени равно

действующей на тело силе. Следовательно, стенки

C

трубы действуют на жидкость с силами,

равнодействующая которых равна

f

r

=

K

= ρSv(V − V )

t

2

1

2. Реакция вытекающей струи.

t

i

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде

t

(рис.), уносит с собой за время

n

al

импульс

K = ρSvV t

de

Этот импульс сообщается вытекающей жидкости

сосудом.

i

f

on

C

y

pan

По третьему закону Ньютона сосуд получает от

вытекающей жидкости за время

t импульс, равный

K = −ρSvV t ,

mt

т. е. испытывает действие силы

fr =

K

= ρSvV

C

oЭта сила называется реакцией вытекающей струи.

сила fr совпадала по величине с силой

гидростатического давления, которое жидкость

i

al

оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то

t

сила была бы равна ρghS . На самом деле сила

n

оказывается в 2 раза больше. Это объясняется тем,

что возникающее при вытекании струи движение

жидкости в сосуде приводит к перераспределению

i

de

давления, причем давление вблизиfстенки, лежащей

напротив отверстия, оказывается несколько большим,

чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

on

На реакции вытекающей струи газа основано

C

действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное

движение, не нуждаясьy

для своего осуществления в

наличии атмосферы, используется для полетов в

космическое пространство.

§ 54. Силыpanвнутреннего трения

m

Идеальная жидкость - это абстракция. Всем реальным

o

C

жидкостям и газам присуща вязкость или внутреннее

трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в