64 лекции по математике кн2
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова
64 ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Книга 2 (лекции 40 - 64)
Утверждено редакционно-издательским советом университета в
качестве учебного пособия
Нижний Новгород ННГАСУ
2012
Содержание |
|
Введение ......................................................................................................... |
6 |
Раздел 8. Дифференциальные уравнения |
|
Лекция 40. Основные понятия теории дифференциальных |
|
уравнений |
|
40.1. Уравнения первого порядка ........................................................................... |
8 |
40.2. Метод изоклин ............................................................................................... |
10 |
Лекция 41. Методы решений дифференциальных уравнений |
|
первого порядка |
|
41.1. Уравнения с разделяющимися переменными ............................................ |
14 |
41.2. Задача о форме вращающегося ножа .......................................................... |
14 |
41.3. Однородные дифференциальные уравнения .............................................. |
17 |
Лекция 42. Линейные дифференциальные уравнения. Прибли- |
|
женные методы решений уравнений первого порядка |
|
42.1. Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли ............................. |
19 |
42.2. Приближенные методы решения уравнений первого порядка ................ |
20 |
Лекция 43. Дифференциальные уравнения второго порядка |
|
43.1. Задача Коши .................................................................................................. |
25 |
43.2. Задача о цепной линии ................................................................................. |
26 |
43.3. Методы понижения порядка уравнения ..................................................... |
28 |
Лекция 44. Линейные дифференциальные уравнения |
|
второго порядка |
|
44.1. Линейный осциллятор .................................................................................. |
31 |
44.2. Структура общего решения дифференциального |
|
уравнения второго порядка.................................................................................... |
32 |
Лекция 45. Линейные однородные уравнения второго порядка |
|
с постоянными коэффициентами ........................................ |
35 |
Лекция 46. Линейные неоднородные уравнения второго порядка |
|
с постоянными коэффициентами |
|
46.1. Метод неопределенных коэффициентов .................................................... |
40 |
46.2. Метод вариаций произвольных постоянных .............................................. |
42 |
Лекция 47. Биения и резонанс ................................................................. |
45 |
Лекция 48. Системы дифференциальных уравнений |
|
48.1. Нормальные системы..................................................................................... |
50 |
48.2. Математическая модель «хищник-жертва» ................................................ |
52 |
48.3. Метод исключения ........................................................................................ |
56 |
Раздел 9. Кратные интегралы |
|
Лекция 49. Двойной интеграл: определение, свойства |
|
49.1. Задача о вычислении объёма цилиндрического тела ................................ |
58 |
49.2. Определение двойного интеграла .............................................................. |
60 |
49.3. Свойства двойного интеграла ...................................................................... |
62 |
3 |
|
Лекция 50. Вычисление двойного интеграла в декартовых |
|
и полярных координатах |
|
50.1. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных |
|
и декартовых координатах .................................................................................... |
64 |
50.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах ...................... |
68 |
Лекция 51. Применение двойных интегралов |
|
51.1. Вычисление площади поверхности интеграла ........................................... |
72 |
51.2. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и |
|
моменты инерции плоской фигуры ...................................................................... |
76 |
Лекция 52. Определение тройного интеграла и |
|
его вычисление |
|
52.1. Задача о нахождении массы материального тела ...................................... |
80 |
52.2. Определение тройного интеграла................................................................. |
81 |
52.3. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных |
|
и декартовых координатах .................................................................................... |
83 |
52.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах........... |
86 |
Лекция 53. Тройной интеграл в сферических координатах. |
|
Приложения к механике |
|
53.1. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах ................. |
90 |
53.2. Статические моменты, координаты центра тяжести, |
|
моменты инерции пространственных тел ............................................................ |
94 |
Раздел 10. Криволинейные интегралы |
|
Лекция 54. Криволинейный интеграл по длине дуги |
|
54.1. Определение криволинейного интеграла 1-го рода.................................... |
99 |
54.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода................................... |
101 |
54.3. Некоторые приложения криволинейного |
|
интеграла 1-ого рода............................................................................................. |
106 |
Лекция 55. Криволинейные интегралы по координатам |
|
55.1. Определение и обозначения ....................................................................... |
109 |
55.2. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода ...................................... |
112 |
55.3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода................................... |
113 |
55.4. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру .................................. |
116 |
Лекция 56. Независимость криволинейного интеграла |
|
2-го рода от пути интегрирования |
|
56.1. Случай плоского силового поля ................................................................ |
119 |
56.2. Случай пространственного силового поля................................................ |
123 |
Раздел 11. Ряды |
|
Лекция 57. Числовые ряды |
|
57.1. Числовые ряды. Основные определения .................................................. |
127 |
57.2. Простейшие свойства рядов........................................................................ |
130 |
57.3. Признаки сходимости рядов ...................................................................... |
131 |
4
Лекция 58. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды |
|
58.1. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница ............................................. |
138 |
58.2. Абсолютная и условная сходимость рядов .............................................. |
139 |
58.3. Функциональные ряды. Основные определения ..................................... |
140 |
Лекция 59. Степенные ряды |
|
59.1. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля .......................... |
143 |
59.2. Ряды Тейлора – Маклорена ........................................................................ |
146 |
59.3. Приложения степенных рядов. Приближенное |
|
вычисление функций ........................................................................................... |
151 |
59.4. Решение дифференциальных уравнений .................................................. |
152 |
Лекция 60. Ряды Фурье |
|
60.1. Введение ....................................................................................................... |
154 |
60.2. Коэффициенты ряда Фурье ........................................................................ |
156 |
60.3. Разложение в ряд Фурье четных функций ................................................ |
161 |
Лекция 61. Ряды Фурье (продолжение) |
|
61.1. Разложение в ряд Фурье нечетных функций ............................................ |
164 |
61.2. Разложение произвольной функции только по косинусам |
|
или только по синусам ......................................................................................... |
165 |
61.3. Разложение в ряд Фурье функции по произвольному промежутку........ |
167 |
Раздел 12. Элементы теории множеств, математической логики |
|
и теории графов |
|
Лекция 62. Элементы теории множеств |
|
62.1 Общие представления о множествах .......................................................... |
169 |
62.2. Подмножества. Универсальное множество. |
|
Множество всех подмножеств данного множества........................................... |
171 |
62.3. Алгебраические операции над множествами.......................................... |
173 |
62.4. Эквивалентность множеств. Мощность множеств................................... |
175 |
62.5. Прямое произведение множеств................................................................. |
177 |
62.6. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности ............................... |
177 |
Лекция 63. Элементы математической логики |
|
63.1. Введение ....................................................................................................... |
180 |
63.2. Высказывания. Алгебра высказываний .................................................... |
181 |
63.3. Понятие предиката ...................................................................................... |
184 |
63.4. Определение математических понятий |
|
посредством формул логики предикатов............................................................ |
188 |
Лекция 64. Элементы теории графов |
|
64.1. Определение и основные типы графов...................................................... |
189 |
64.2. Основные понятия в теории графов........................................................... |
191 |
64.3. Эйлеровы графы........................................................................................... |
195 |
64.4. Изоморфизм графов..................................................................................... |
196 |
64.5. Деревья.......................................................................................................... |
198 |
5
Введение
Это вторая книга лекций по математике, написанных преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурностроительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Она включает в себя основные понятия и методы дифференциальных уравнений, кратные и криволинейные интегралы, теорию рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.
Как было отмечено во введении к первой книге, существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру студентов, обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить умение устанавливать причинно-следственные связи и рационально мыслить. Это как раз то, что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.
Усилия авторского коллектива во второй книге распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по дифференциальным уравнениям и рядам Фурье (лекции 40–48, 60,61), доцент М.И. Лиогонький – по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59, 62–64), доцент Л.А. Протасова – по кратным интегралам (лекции 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький, Г.Л. Пугач (кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь» (например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).
6
Раздел 8. Дифференциальные уравнения
Лекция 40. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Ранее мы изучали алгебраические уравнения, где неизвестными были числа, а сейчас мы переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений, в которых требуется найти неизвестные функции, удовлетворяющие определенным соотношениям. Дифференциальные уравнения играют важную роль в изучении окружающих нас динамических процессов.
Рассмотрим, например, задачу о нахождении закона изменения скорости свободно падающего тела. Пусть тело массы mпадает с некоторой высоты под действием силы тяжести и с учетом силы сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона
m |
dv |
= mg − kv , |
(40.1) |
|
|||
|
dt |
|
|
предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости в каждый момент времени. Это уравнение, кроме неизвестной функцииv(t), содержит еще и ее производнуюv′(t). Такие уравнения называют дифференциальными. Решить дифференциальное уравнение – значит найти все такие функцииv(t), при подстановке которых в (40.1) это уравнение превращается в тождество. Методы решений дифференциальных уравнений мы изучим позже, а сейчас убедимся в том, что функция
|
|
|
|
|
|
− |
k |
t |
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
v(t) = Ce m |
+ |
|
|
|
(40.2) |
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при любом |
|
значении |
постоянной |
C |
удовлетворяет |
этому уравнению. |
|||||||
Действительно, |
подставляя |
эту |
функцию и |
ее производную |
|||||||||
|
k |
|
− |
k |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
v′(t) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ce m в (40.1), получим тождество (убедитесь в этом!). Заметим, |
||||||||||||
|
|||||||||||||
m
что мы нашли бесконечно много функций, удовлетворяющих этому дифференциальному уравнению – каждому значению постоянной C соответствует свое решение.
Пусть в начальный момент времени t = 0скорость тела была v0 . Как будет происходить изменение скорости тела в дальнейшем? Выделим из найденного множества решений (40.2) то, которое соответствует этому начальному условию v(0) = v0 . Из уравнения (40.2) получимv0 = C + mg
k , откуда найдем C = v0 − mg
k . Подставляя это значение постоянной
7
в (40.2), получим закон изменения скорости падающего тела при заданном начальном условии
− |
k |
t |
|
mg |
− |
k |
t |
|
|
|
|
|
|||||
v(t) = v e m |
+ |
|
(1− e m |
) . |
||||
|
||||||||
0 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно этой функции скорость падающего тела |
при t → ∞ будет стре- |
|||||||
миться к величине mg /k . Отсюда, в частности, следует, какой коэффициент сопротивления k (парашют) выбрать, чтобы обеспечить приземление с допустимой скоростью.
Этот пример показывает, что необходимо научиться решать такого рода уравнения. Дадим формальное определение этим уравнениям.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные
F(x, y, y′,..., y(n) ) = 0 . |
(40.3) |
Решением уравнения (40.3) назовем любую функцию, обращающую это уравнение в тождество. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Как правило, с повышением порядка дифференциального уравнения возрастает сложность нахождения его решения, поэтому начнем изучение с дифференциальных уравнений первого порядка.
40.1.Уравнения первого порядка. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следует из (40.3) при n =1
F(x, y, y′) = 0.
В том случае, когда y′ явно выражается через оставшиеся переменные, это уравнением записывается в форме Коши
y′ = f (x, y) . |
(40.4) |
Приведем геометрическую интерпретацию решений этого уравнения. Начнем с примера. Пусть имеется уравнение
y′ = − |
y |
. |
(40.5) |
|
|||
|
x |
|
|
Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что функции
8
y = |
C |
(40.6) |
|
x |
|||
|
|
обращают это уравнение в тождество. Построим графики этих функций при различных значениях C в плоскости переменных x, y (рис. 40.1).
|
|
|
|
y=C/x |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=1/x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Y: 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
Рис. 40.1
Формула (40.6) определяет так называемое общее решение уравнения (40.5), представляющее собой семейство кривых. Как выделить из этого семейства конкретную кривую? Для этого выберем точку с координатами (x0 , y0 ) (на рис.40.1 это точка (0,5; 2)). Через нее проходит кривая из семейства (40.6), которой соответствует значение C = x0 y0 . Соответствующее решение
y = x0 y0 x
называют частным решением дифференциального уравнения (40.5), удовлетворяющим начальным условиям y(x0 ) = y0 .
Для произвольного дифференциального уравнения первого порядка общее решение имеет вид функции
y = ϕ(x,C),
содержащей параметр C.Графики функций этого семейства называют интегральными кривыми. Задачей Коши называют нахождение частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям (x0 , y0 ).
9
Приведем без доказательства теорему Коши существования и единствен- |
||||||
ности частного решения дифференциального уравнения (40.4). |
|
|||||
Теорема Коши. Пусть функция f (x, y) |
и ее частная производная |
|||||
fy′(x, y) по переменной |
y непрерывны в области |
D . Тогда через любую |
||||
точку (x0 , y0 ) этой области проходит единственная интегральная кривая |
||||||
y = y(x), соответствующая решению, удовлетворяющему начальному ус- |
||||||
ловию y(x0 ) = y0 . |
|
|
|
|
|
|
Точки, в которых нарушаются условия теоремы Коши, называют |
||||||
особыми. Через особые точки может проходить, вообще говоря, не одна |
||||||
интегральная кривая. Например, решениями уравнения |
|
|||||
|
|
y′ = |
1− y2 |
|
|
|
в области 0 ≤ x ≤ π; |
−1≤ y ≤1 служат функции |
|
y(x) = sin(x + C)и y = ±1 |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
(см. рис.40.2). |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
y = sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin(x-pi/2) = - cosx |
|
||
-1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0.5 |
1 |
|
1.5 |
2 |
|
|
|
Рис.40.2 |
|
|
|
Из рисунка видно, что через точку (0;−1) |
проходят две кривые, яв- |
|||||
ляющиеся графиками |
функций |
y(x) = sin(x − π) = −cos(x), |
y = −1. Это |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
произошло потому, что в этой точке нарушено условие теоремы о непре- |
||||||
рывности частной производной |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( 1− y2 )′ |
= − |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
y |
1 |
− y2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
40.2. Метод изоклин. Конечно, имея формулу, определяющую общее решение дифференциального уравнения, можно, вообще говоря, построить
10
интегральные кривые. Возникает вопрос, нельзя ли по виду дифференциального уравнения выяснить некоторые свойства его интегральных кривых? Оказывается можно. Действительно, пусть интегральная кривая y = y(x) проходит через некоторую точку (x0 , y0 ) в области определения функции в правой части (40.4). Проведем касательную к этой кривой в данной точке (рис.40.3).
y = y(x)
D ϕ
(x0, y0 )
Рис. 40.3
Тогда тангенс угла наклона касательной будет равен
tgϕ = y′(x0 ) = f (x0, y0 ),
где последнее равенство имеет место в силу того, что функция y = y(x) – решение уравнения (40.4). Таким образом, в каждой точке, где определена функция f (x, y), нам известен угол наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Если вообразить, что в каждой точке проведен такой отрезок касательной, то мы получим так называемое поле направлений данного дифференциального уравнения. Например, для уравнения (40.5) поле направлений приведено на рис. 40.4.
Поле направлений можно также получить, построив в каждой точке
вектор d ={1, f (x, y)}. Глядя на поле направлений, можно получить некоторое представление о соответствующем семействе интегральных кривых (см. рис. 40.4). Векторы направления удобно строить единичной длины
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1+ |
|
1+ |
f 2 |
||||||
|
|
f 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11