64 лекции по математике кн2

Покажем, что если некоторая кривая y = y(x) проходит через точку (x0 , y0 )т.е. y0 = y(x0 )и касается направления поля в этой точке, то функция y = y(x) будет решением уравнения. Касание кривой заданного направления приводит к равенству векторов

{1, y′(x0 )} = λ{1, f (x0, y0 )}. Из этого равенства сначала следует, что λ =1, а потом

y′(x0 ) = f (x0, y0 ) = f (x0, y(x0 )).

Если это свойство (касание кривой заданного направления) происходит в каждой точке некоторого промежутка, т.е.

y′(x) = f (x, y(x)), a ≤ x ≤ b,

то последнее равенство и означает, что функция y = y(x)решение уравнения в указанном промежутке.

Эффективным способом построения поля направлений является так называемый метод изоклин. Изоклиной (кривой равного наклона) называется множество всех точек (x0 , y0 ), в которых угол наклона касательной один и тот же. Из (40.4) следует, что изоклина с данным коэффициентом k является кривой, которая задается уравнением

f (x, y) = k .

12

Рис. 40.5.

Вообще говоря, нахождение решения дифференциального уравнения в виде формулы, связывающей независимую и зависимую переменные, представляет собой непростую задачу. Более того, для некоторых уравнений решение не может быть выражено через известные функции. Про такие уравнения говорят, что они не интегрируются в квадратурах. Странность термина объясняется тем, что вычисление интеграла исторически связано с вычислением площадей фигур (квадратурами). В этих случаях применяются разного рода численные методы, позволяющие на компьютере приближенно построить интегральные кривые. Однако, существуют классы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, т.е. для которых решение может быть найдено аналитически. Рассмотрим некоторые из них.

13

Лекция 41. Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка

41.1. Уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении

правая часть может быть представлена в виде произведения функций

f (x, y) = f1(x) f2 (y) ,

то такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными. Решают его следующим образом. Произведём разделение переменных, записывая уравнение

предполагая, что f2 (y) ≠ 0. Поскольку y – некоторая функция x, то, учитывая инвариантность формы первого дифференциала, получим

dy

∫ f2(y(x)) = ∫ f2 (y) = ∫ f1(x)dx .

Предположим, что последние два интеграла выражаются через элементарные функции в виде

F2 (y) = F1(x) + C .

Таким образом, мы получили общее решение уравнения (41.3). Сюда следует добавить также решения вида y = y , где f2 (y ) = 0, которые мы «потеряли» при делении уравнения (41.2) на функцию f2 (y).

41.2. Задача о форме вращающегося ножа. Начнем с примера. Пусть режущая кромка ножа – прямая. Оказывается, если нож пере-

мещается под прямым углом к своей режущей кромке, то разрезание происходит «хуже», чем в том случае, когда этот угол острый. Например, отрезая хлеб или другой продукт, мы, как правило, перемещаем нож под некоторым углом (см. рис. 41.1).

14

90°

α

Рис. 41.1

Во многих инструментах режущая часть вращается, как например нож мясорубки. Если нож мясорубки имеет вид как на следующем рисунке, то он будет резать плохо, как отмечено выше.

,

α

Рис. 41.2

Возникает вопрос: нельзя ли для вращающегося ножа отказаться от режущей кромки в виде прямой линии, но чтобы угол резания в каждой точке режущей кромки ножа был один и тот же. Ответ на этот вопрос важен с технической точки зрения для эффективной эксплуатации разного рода режущих инструментов.

Если режущая кромка ножа отлична от прямой линии, то под углом резания в данной точке будем понимать угол между касательной в этой точке к режущей кромке и направлением перемещения точки режущей кромки ножа (см. рис.41.1).

Итак, пусть нож, режущая кромка которого имеет форму некоторой кривой Г, вращается вокруг точки O . Поскольку угол резания в каждой точке один и тот же, то также будет постоянным и угол α = OMT между

15

радиус-вектором точки M (x, y) и касательной MT к этой кривой в точке M (x, y) (см.рис.2). В математической постановке задача формулируется

Полученную зависимость удобнее представить в полярной системе коор-

динат, что приводит к уравнению

ϕ

r = C e k .

16

Это так называемая логарифмическая спираль. Она была известна многим математикам семнадцатого века, например, Декарту и Торричелли. Логарифмическая спираль часто встречается как в живой, так и неживой природе. Раковины улиток, а также рога некоторых животных закручены по логарифмической спирали. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмическим спиралям.

часть дуги логарифмической спирали r = 0,5 eϕ ,по которой можно выто-

чить режущие кромки ножа для мясорубки с углом резания α = 450 (см. рис.41.3).

Рис.41.3

41.3. Однородные дифференциальные уравнения. Рассмотренная нами задача позволяет выделить ещё один тип дифференциального уравнения первого порядка, интегрируемого в квадратурах. Для его характеристики привлечём понятие однородной функции. Такая функция выделяется следующим свойством:

f (t x,t y) = f (x, y) , t,

т.е. при умножении её аргументов на одно и то же число значение функции не изменяется. Если в этом тождестве положить t =1/ x , то

т.е. однородная функция может быть представлена как функция отношения своих аргументов.

17

Уравнение y′ = f (x, y), у которого правая часть однородная функция, называется однородным уравнением и сводится подстановкой

y = t(x) , y = t x , y′ = t + x dt

Обозначая интеграл слева через Φ(t) , получаем общее решение исходного уравнения в виде

Φ( y ) = ln x + C . x

К этому следует добавить решения, которые могут быть потеряны при делении на функцию ϕ(t) − t . Метод решения однородных уравнений открыл Иоганн Бернулли в 1695 году.

18

Лекция 42. Линейные дифференциальные уравнения. Приближенные методы решений дифференциальных уравнений первого порядка

42.1. Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

A(x)y′ + B(x)y + C(x) = 0

или, после деления на функцию A(x), вида

y′ + p(x)y + q(x) = 0,

в которые переменные y и y′ «входят» линейно. Покажем, что решение этого уравнения может быть найдено в виде произведения двух функций, т.е.

y = u(x)v(x),

каждая из них удовлетворяет уравнению с разделяющимися переменными. Подставляя y и производную y′ = u′v + uv′ в исходное уравнение,

его можно представить в одном из следующих видов:

или

(u′ + pu)v + uv′ + q = 0.

Рассмотрим, например, первое уравнение. Выберем функцию v такую, чтобы выражение в скобке обратилось в ноль, т.е. удовлетворяющую дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции v(x)

dv + p(x)v = 0 . dx

Пусть v = v (x) – одно из его решений (полученное, например, при постоянной интегрирования, равной нулю). При функции v = v (x) уравнение (42.1) примет вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u(x)

du

dx v (x) = −q(x).

19

Находя его общее решение в виде u = u(x,C), получим общее решение исходного линейного дифференциального уравнения в виде

сводится к линейному уравнению следующим образом. Будем считать, что α ≠ 0 и α ≠1, т.к. оба эти случая соответствуют линейным уравнениям. Поделим обе части уравнения на yα

yyα′ + p(x)y1−α + q(x) = 0

и введем новую переменную z = y1−α . В новых переменных исходное уравнение будет линейным

1z′ + p(x)z + q(x) = 0.

1− α

42.2.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Теперь остановимся на приближенных методах. Сначала рассмотрим метод Пикара (метод последовательных приближений). Представим задачу Коши

20

y′ = f (x, y), y(x0 ) = y0

в следующем эквивалентном виде: найти функцию y(x) такую, что

x

y(x) = y0 + ∫ f (x, y(x))dx.

x0

Фактически, мы заменили дифференциальное уравнение интегральным уравнением, в котором неизвестная функция y(x) входит ещё и под знак интеграла. Если под знаком интеграла функцию y(x) заменить её значением y0 , получим так называемое первое приближение

x

y1(x) = y0 + ∫ f (x, y0 )dx .

x0

Затем заменяем y(x) найденной функцией y1(x) и получаем второе приближение

x

y2 (x) = y0 + ∫ f (x, y1(x))dx.

x0

Продолжая процесс далее, найдем

x

yn (x) = y0 + ∫ f (x, yn−1(x))dx .

x0

Таким образом, получаем последовательность функций

Оказывается, что при определенных условиях эта последовательность сходится к решению исходной задачи Коши. Под этим понимается, что для каждого x из рассматриваемого интервала числовая последовательность (42.2) имеет пределом соответствующее значение решения y(x). Справедлива следующая теорема, которую приведём без доказательства.

Теорема. Пусть в окрестности точки (x0 , y0 ) функция f (x, y) и ее

функции y(x), являющейся решением задачи Коши для данного уравнения.

Пример. Решим этим методом следующую задачу

y′ = x − y, y(0) =1, y(x) =?

21