5. Косоугольное проецирование

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны между собой.

Косоугольное проецирование- это частный случай параллельного проецирования. При нем проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, угол не равен 90○.

Косоугольное проецирование используется для построения теней и построения аксонометрических проекций

Как он вчера говорил: Есть одна плоскость без искажения (фронтальная или горизонтальная).

Примером искажения является тень предметов в утреннее или вечернее время.

Косоугольное проецирование применяется в основном при решении позиционных задач, что значительно упрощает построения, связанные с решением задач на пересечение прямых с плоскостями и взаимное пересечение плоскостей, когда необходимо получить вырожденные проекции названных геометрических образов, т.е. прямую превратить в точку, а плоскость – в прямую. Косоугольное проецирование может быть как центральным, так и параллельным.

Свойства:

1. Проекцией точки является точка.

2. Проекцией линии является линия.

3. Проекцией прямой в общем случае является прямая. (Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то её проекцией является точка).

4. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии.

5. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий.

6. В общем случае плоский многогранник проецируется в многогранник с тем же числом вершин.

7. Проекции параллельных прямых параллельны.

8. Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

9. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.

Пример:

Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А1 и В1 мы получим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ.

6. Центральное проецирование

Наиболее общий случай получения проекций пространственных фигур - это центральное проецирование.

Вэтом случае проецирующиелучи выходят из одной точки - центра проецирования S, который находится на конечном расстоянии от плоскости проекций П1.

Для того чтобы получить центральные проекции точек А и B, необходимо провести проецирующие лучи из центра проецирования S через точки А и B до пересечения с плоскостью проекций П1. При пересечении получаются точки А1 и B1 - центральные проекции точек А и B.

Для того чтобыопределить положение точки А в пространстве по её центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки А1 и А2, полученные из двух различных центров S1 и S2. Если провести проецирующие лучи S1А1 и S2А2, то точка их пересечения однозначно определит положение точки А в пространстве.

Для построения центральной проекции A1B1 отрезка АВ достаточно построить центральные проекции А1 и B1 точек А и В, так как две точки однозначно определяют прямую.

Центральное проецирование обладает большой наглядностью, так как оно соответствует зрительному восприятию предметов.

Свойства центрального проецирования:

10. Проекцией точки является точка.

11. Проекцией линии является линия.

12. Проекцией прямой в общем случае является прямая. (Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то её проекцией является точка).

13. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии.

14. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий.

15. В общем случае плоский многогранник проецируется в многогранник с тем же числом вершин.

16. Проекцией взаимно параллельных прямых является пучок прямых.

17. Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то её проекция подобна этой фигуре.

7. Прямые и плоскости общего и частного положения Прямая частного положения (или прямая уровня) - прямая, параллельная хотя бы одной из называетсягоризонталью. На горизонтальную плоскость проекций горизонталь проецируется в натуральную величину. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называетсяфронталью. На фронтальную плоскость проекций фронталь проецируется в натуральную величину. Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называетсяпрофильной прямой. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину. Прямая называется проецирующей, если она перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Одна из проекций такой прямой есть точка. Эта проекция называется главной или вырожденной. Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими.

1.Горизонтально проецирующая прямая - прямая горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а фронтальная и профильная проекции || оси z.

2.Фронтально проецирующая прямая - прямая фронтальной плоскости проекций. Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и профильная проекции || оси y.

3.Профильно проецирующая прямая - прямая профильной плоскости проекций. Профильной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и фронтальная проекции || оси x.

Прямой общего положения называется прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.№ Плоскость общего положения - плоскость не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций. Плоскость частного положения - плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью.

Существует три вида проецирующих плоскостей:

1.Горизонтально-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П1. И поэтому проецируется на нее как прямая.

2. Фронтально-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П2. И поэтому проецируется на нее как прямая.

3. Профильно-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П3. И поэтому проецируется на нее как прямая.

На обычном ортогональном чертеже, когда плоскость П3 не используется, профильно-проецирующая плоскость выглядит как плоскость общего положения. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. Следовательно, плоскость уровня всегда параллельна одной из плоскостей проекций. Существует три вида плоскостей уровня: 1. Горизонтальная плоскость уровня - || П1. 2. Фронтальная плоскость уровня - || П2. 3. Профильная плоскость уровня - || П3.