6.1.3. Касательная к графику функции

Как и нахождение скорости неравномерного движения, нахождение ка­сательной к кривой линии - одна из основных задач, решение которых при­вело к созданию дифференциального исчисления. Рассмотрим частный случай задачи о касательной, когда линией служит график функ­ции.

Определение 6.1.3. Пусть числовая функция определена на невырожден­ном промежуткеи непрерывна в его точке(так что расстояниеот соответствующей точки графика до его точки ,, стремится к нулю при) .Касательной к графику функции в точкеназывают такую прямую, проходящую через, что отношение расстояния от точки до этой прямой к расстояниюотдостремится к нулю при(т.е. что бесконечно мало по сравнению с при).

(рис. 14). Таким образом, кривая, обладающая в точке каса­тельной, почти сливается с ней вблизи этой точки.

Теорема 6.1.4. Если функция , определенная на промежутке, дифференци­руема в его точке, то график этой функции имеет в соответствующей точ­кекасательную, причем угловой коэффициент касательной равен.

Доказательство. По условию и по теореме 6.1.2, равенство

, (5)

выполняется для всех , принадлежащих некоторой окрестноститочки, ипри. Прямая с угловым коэффициентом , проходящая через точку, име­ет уравнение

. (6)

Пусть - точка графика с абсцис­сойи(рис. 15), - про­екция этой точки на прямую (6) и - точка этой прямой с абсциссой . Тогда направленный отрезок равен , так что, вычитая (8) из (7), получаем . Так как , а , то. Но при. Следовательно, при, т.е. (7) - уравнение касательной к графику функциив его точке.

Таким образом, нахождение углового коэффици­ента касательной (как и нахождение скорости) при­водит к вычислению производной.

Замечание 1. Секущая имеет угловой коэффициент(см. рис. ). Таким образом, теорема 6.1.4 показывает, что справедливо следствие.

Следствие. Угловой коэффициент ка­сательной в точке есть предел углового коэф­фициента секущейпри .

§ 6.2. Вычисление производных

6.2.1.Дифференцирование суммы, произведения и ча­стного

Теорема 6.2.1

1. Пусть имеет производную в точке . Тогда для любой постоянной справедлива формула:

(постоянный множитель можно вынести за знак производной).

2. Пусть иимеют производные в точке .Тогда существует производная суммы этих функций, причём

.

3. Пусть иимеют производные в точке .Тогда существует производная произведения этих функций, причём

.

4. Пусть иимеют производные в точке и пусть . Тогда существует производная частного этих функций, причём

.

Доказательство.

1. Приращение функции в точке равно. По условию, существует, следовательно, существует и , что и требовалось доказать.

2. Приращение функции в точке равно,

поэтому справедливы равенства

3. Аналогично, для произведения имеем

При выполняются соотношения

следовательно, по теореме 3.3.1 получаем

4. Сначала докажем лемму

Лемма. Пусть имеют производную в точке и пусть Тогда

.

Доказательство леммы. Рассматриваемое приращение имеет вид:

По лемме 3.3.2 предел функции равен . Следовательно,

.

Лемма доказана.

Утверждение 4 теоремы 6.2.1 сразу следует из её утверждения 3 и доказанной леммы.