MS_bak_220400_220700

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУВПО “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ”

В.С. Кудряшов, М.В. Алексеев

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2012

1

УДК 519.8(075) ББК з966-01с116я7 К88

Научный редактор д-р техн. наук, профессор В.К. БИТЮКОВ

Р е ц е н з е н т ы :

кафедра теоретической и промышленной теплоэнергетики Воронежского государственного технического университета;

начальник отдела Н.Р. БОБРОВНИКОВ (ОАО “АВТОМАТИКА”)

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного университета инженерных технологий

К88 Кудряшов В. С. Моделирование систем [Текст] : учеб. пособие / В. С. Кудряшов, М. В. Алексеев. Воронеж. гос. унив. инж. техн. Воронеж: ВГУИТ, 2012. – 208 с.

ISBN …

Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями ФГОС ВПО подготовки бакалавра по направлениям 220700 – “Автоматизация технологических процессов и производств”, 220400 – “Управление в технических системах”. Оно предназначено для закрепления теоретических знаний дисциплин профессионального цикла. В пособии сформулированы цели и задачи моделирования систем. Рассмотрены экспериментальностатистический и детерминированный подходы к моделированию. Приведены методы идентификации моделей статики и динамики различных технологических объектов, а также численные методы оптимизации настроек цифровых регуляторов и компенсаторов при синтезе систем управления различных структур. Описана разработка и исследование модели статики процесса ректификации. В пособии приводятся варианты заданий к выполнению лабораторных работ и курсовой работы, включающие постановку задачи моделирования технологических объектов или систем управления и требующие разработки математического и программного обеспечения для исследования моделей.

Табл. 47. Ил. 62. Библиогр.: 18 назв.

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………..………...6

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ.…..….9

1.1. Математическое моделирование.

Назначение и классификация моделей….……………….….….9

1.2. Подходы к построению математических моделей…………………………………………..………….…..16

1.3. Структура математического описания при детерминированном подходе……………………………..17

1.4.Структура эмпирических моделей……………………….19

1.5.Типы уравнений математического описания……………21

1.6.Алгоритмизация решения математического

описания………………………………………………………...22 1.7. Контрольные вопросы…………………………………….24

Глава 2. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ……………………………………………….…..25

2.1. Использование метода наименьших квадратов при идентификации моделей статики………….…………….25

2.2. Получение уравнений множественной регрессии методом Брандона…………………………………29

2.3. Использование регрессионного анализа при статистическом моделировании…………………………32

2.4.Параболическая и трансцендентная регрессии…………36

2.5.Основы корреляционного анализа………………………38

2.6.Построение экспериментально-статистических

моделей методами планирования эксперимента……………41

2.7.Контрольные вопросы……………………………………48

2.8.Варианты заданий к лабораторной работе

“Определение коэффициентов однопараметрических моделей технологических процессов статистическими методами”……………………………………….……………..49

3

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ, РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ……………………..55

3.1.Построение динамических моделей объектов управления с помощью разностных уравнений и дискретных передаточных функций……………………….55

3.2.Идентификация дискретных динамических

моделей методом наименьших квадратов по кривым разгона каналов объекта………………………………………64

3.3.Дискретное динамическое описание объектов управления со связанными параметрами…………………….69

3.4.Получение уравнений цифровых регуляторов

типовых законов и областей допустимых изменений их настроек…………………………………………………….75

3.5.Оптимизация настроек цифрового регулятора в одноконтурной системе по критериям минимум интегрально-квадратичной ошибки

и минимум времени регулирования……………….…………81

3.6.Синтез адаптивной цифровой системы

управления с настраиваемой моделью……………………….99

3.7.Синтез каскадной системы цифрового управления методами декомпозиции и свертки по

критерию минимум интегрально-квадратичной ошибки….100

3.8.Синтез комбинированной системы цифрового управления по критерию минимум интегральноквадратичной ошибки и из условия инвариантности……...107

3.9.Расчет цифровых регуляторов несвязанной

системы управления объектом с двумя связанными параметрами по критерию минимум суммы интегрально-квадратичных ошибок………………………..114

3.10. Синтез связанной системы управления объектом с двумя связанными параметрами по критерию минимум суммы интегрально-

квадратичных ошибок и из условия автономности………..121

4

3.11. Расчет показателей качества управления по динамическим характеристикам замкнутых систем……129

3.12. Исследование чувствительности систем управления к нестационарному поведению объектов……..132

3.13.Исследование влияния длительности квантования сигналов в системах на качество

управления……………………………………………………139

3.14.Контрольные вопросы…………………………………148

3.15.Варианты заданий к лабораторной работе

“Идентификация дискретной динамической модели по имитационной модели объекта”…………………………152

3.16. Варианты заданий к лабораторной работе “Оптимизация настроек цифровых регуляторов в составе одноконтурной схемы”…………………….……..159

Глава 4. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ СТАТИКИ ПРОЦЕССА РЕКТИФИКАЦИИ………………163

4.1. Состав математического описания процесса и принимаемые допущения к модели………………………163

4.2.Алгоритмы расчета констант фазового равновесия систем “жидкость - пар”…………………………………….168

4.3.Методика пересчета концентраций компонентов

из массовых долей и массовых расходов в мольные……..174

4.4.Алгоритмизация решения математической модели….175

4.5.Установление адекватности математической

модели, ее исследование и оптимизация работы …………..182

4.6.Контрольные вопросы………………………………….184

4.7.Варианты заданий к курсовой работе

“Составление и исследование модели статики процесса ректификации в пищевой или химической

промышленности”…………………………………………..185

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………205

Приложение А. Таблица значений критерия Фишера для оценки адекватности моделей

5

ВВЕДЕНИЕ

Автоматизация технологических процессов и производств в настоящие время требует предварительного получения и анализа математических моделей процессов и систем управления. Для повышения эффективности моделирования необходимо выполнить ряд взаимосвязанных этапов.

Сначала проводится анализ моделируемого объекта и формируется задание исходя из общей стратегии моделирования, степени теоретической проработки процесса, выявленных взаимосвязей входных и выходных параметров. Определяется цель моделирования, степень детализации модели, указываются результаты, которые необходимо получить в конечном итоге (статические, динамические характеристики, оптимальные режимы работы и т. д.).

Под объектом моделирования в автоматизации понимают как технологический объект, так и систему управления, включающую технологический объект, средства управления и устройства связи с объектом. Математическое описание является отражением физической сущности объекта со свойственными ему особенностями и ограничениями. Построение любой математической модели начинают с выявления параметров состояния (входов и выходов). При этом необходимо выделить “элементарные процессы”, протекающие в объекте, которые подлежат отражению в модели и формулируют основные допущения, принимаемые при их описании. Под “элементарными процессами” понимаются физико-химические процессы, относящиеся к определенному классу явлений (например, массообмен, теплопередача и т. д.).

Для характеристики свойств различных объектов моделирования обычно применяют алгебраические и трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных.

При построении математических моделей широко используется блочный принцип, суть которого состоит в том, что модель строится из отдельных блоков, отражающих ту или иную сторону рассматриваемого процесса (например, блок фазового равновесия, блок гидродинамики, блок кинетики массопередачи

6

и т. д.). Этот принцип позволяет разбить общую задачу построения модели на отдельные подзадачи, что упрощает разработку модели. Принципиально каждый блок может иметь различную степень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений модели процесса в целом.

Таким образом, при составлении математического описания дается его структура, принимаются допущения и ограничения на параметры. Приводятся исходные данные и указываются все обозначения, используемые в уравнениях. Даются схемы материальных и тепловых потоков. Приводятся все уравнения, устанавливающие взаимосвязи параметров объекта, стехиометрические соотношения, неравенства, методики подготовки исходных данных и ссылки на справочники и литературные источники. При решении задач оптимизации приводится целевая функция и указываются параметры, по которым проводится оптимизация.

На этапе алгоритмизации обычно необходимо решать задачу выбора метода решения, от которого зависит скорость и точность сходимости решения. Это особенно важно при использовании модели в алгоритмах оптимизации. После выбора численного метода решения составляется четкое описание последовательности вычислительных и логических действий, обеспечивающих решение.

По завершению этого этапа должна быть составлена схема алгоритма решения поставленной задачи. Алгоритм решения должен быть доведен до конкретной реализации, т. е. до получения количественной связи между входными и выходными параметрами в результате решения задачи на ЭВМ.

Программирование решения можно выполнять в современ-

ных системах Borland C++ Builder, Borland Pascal, Delphi, а так-

же с использованием известных математических пакетов Mathcad, Maple, Mathlab. При разработке программы необходимо находить компромисс между удобством интерфейса, наглядностью представления результатов, универсальностью и компактностью программы.

Математическая модель объекта является лишь его аналогом в рамках принятых допущений. Поэтому значения перемен-

7

ных, получаемые на модели и объекте, различаются. Возникает задача установления близости модели реальному объекту.

Для установления адекватности необходимо выбрать критерий, который позволил бы сделать заключение о соответствии модели и объекта. Минимизация критерия адекватности является одной из основных задач этапа установления адекватности – этапа коррекции модели. Для выполнения коррекции модели необходимо располагать значениями переменных процесса, полученных экспериментальным путем, из литературных источников, результатов исследований научно-исследовательских и проектноконструкторских организаций и т. д.

Взависимости от цели моделирования разработанная программа может использоваться в составе прикладного программного обеспечения для расчета статических и динамических характеристик промышленных объектов, оптимизации режимов их работы и т. д.

Предлагаемое учебное пособие состоит из четырех глав.

Впервой главе учебного пособия приведены основные понятия моделирования, классификация методов построения математических моделей и описаны два основных подхода к моделированию – детерминированный и экспериментальностатистический.

Вторая глава посвящена составлению математических моделей экспериментально-статистическими методами. Сформулированы задачи регрессионного и корреляционного анализа.

Втретьей главе изложены методы моделирования, синтеза

иисследования алгоритмов цифрового управления одноконтурных и связанных систем с применением численных методов оптимизации.

Вчетвертой главе приведена методика разработки и исследования детерминированной модели статики процесса ректификации. Освещены вопросы состава математического описания процесса, алгоритмизации математического описания и установления адекватности модели.

Учебное пособие “Моделирование систем” предназначено для бакалавров направлений 220700 – “Автоматизация технологических процессов и производств”, 220400 – “Управление в технических системах” всех форм обучения.

8

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

При разработке, проектировании и исследовании технологических объектов и систем управления широко используется метод моделирования. Удобство проведения исследований на моделях определяется легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков исследований, уменьшением материальных затрат и т. д. Поведение модели в достаточной для исследователя степени должно соответствовать поведению реального объекта. Результаты моделирования должны быть переносимы на реальный объект.

1.1. Математическое моделирование. Назначение и классификация моделей

Моделирование – метод изучения объектов, при котором вместо оригинала (реального объекта) эксперимент проводится на его модели (другом объекте), а результаты моделирования распространяются на оригинал [1]. Модель (лат. modulus - мера)

–объект, который в ходе эксперимента заменяет оригинал.

Кмодели предъявляются следующие основные требования:

-эксперимент на модели должен быть проще, быстрее, экономичнее, безопаснее, чем на оригинале;

-должно быть правило, по которому результаты моделирования переносятся на оригинал (необходимо соблюдение принципа адекватности).

Адекватность - способность модели отражать важные для исследователя свойства объекта (законы, которым он подчиняется; связи между составляющими объекта и т. п.). Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства объекта с приемлемой точностью. Точность оценивается по степени совпадения поведения реального объекта в определенной ситуации и поведения модели объекта в аналогичной ситуации, промоделированной в ходе вычислительного эксперимента.

Как правило, при построении модели требование адекватности входит в противоречие с требованием простоты и экономичности ее реализации. Чем сложнее и дороже модель, тем точнее она описывает поведение объекта. Поэтому исследователь вынужден искать компромисс между этими требованиями, исхо-

9

дя из адекватности модели и характера конкретной прикладной задачи, для которой создается соответствующая модель.

Если математическая модель полно отражает исследуемые стороны объекта или системы, то она является адекватной этому объекту или системе. Однако высокая степень адекватности всегда приводит к чрезвычайной сложности математической модели. При этом может оказаться, что уровень сложности модели не позволяет решать конкретные задачи (например, задачи анализа и синтеза систем). В связи с этим при выборе или построении математической модели объекта или системы необходимо руководствоваться принципом практической целесообразности, т. е. стремиться к такой степени адекватности модели, которая с одной стороны отражала бы основные свойства реальной системы, а с другой - допускала бы применение методов исследования в рамках принятой модели. Кроме того, математическая модель системы должна иметь такую форму представления, которая бы была наиболее удобной для решения конкретной задачи. Многообразие проблем и задач моделирования приводит к необходимости использования множества видов математических моделей систем, связанных между собой, но имеющих различную форму представления [2].

Различают следующие виды моделирования: физическое и математическое.

Физическими моделями являются уменьшенные или увеличенные копии объектов исследования (пилотные установки, макеты аппаратов и т. д.).

Математическое моделирование – метод описания процессов с количественной и качественной стороны с помощью математических моделей. При этом модель представляет собой математические соотношения или описания различных элементарных процессов в химической и пищевой технологии. Элементарными процессами являются процессы тепло- и массопередачи, физических и химических превращений, потоков веществ и т. д.

Математическое описание, составляющее структуру модели, представляется в виде системы алгебраических или дифференциальных уравнений, отражающих связь параметров.

Математическое моделирование состоит из ряда взаимосвязанных этапов (рис. 1.1).

10