моделирование_1
.docxЛабораторная работа №1
по теме: «Математическое введение: Линейная алгебра и математический анализ»
студента группы А-113
Выполнил: Аметх Диоп
Поверила: Коробова . Л. А
Воронеж 2013
Задача 1:
Дано:
.
Вычислить det
(A)
разложением по 1-й строке.
Решение:
Det(A)=
= 1.
Det(A)= (-1).(-2) – (-2).(2) = 2 + 4=6
Ответ: Det(A)=6
Задача 2:
Дано:
.
Вычислить det
(A)
разложением по 3-му столбцу.
Решение:
Det(A)=
Det(A)= (-2).(2.(-2) - 1.(-2)) = (-2).(-2) = 4
Ответ: Det(A)=4
Задача 3:
Дайте определение понятия «линейная комбинация векторов». Образуйте любую линейную комбинацию из векторов
;
;
.
Решение:
Линейной
комбинацией векторов
называют вектор
где
- коэффициенты линейной комбинации.
Если
комбинация называется тривиальной,
если -
нетривиальной.
Линейная
комбинация дает в результате сложения
векторов, умноженных на число , также
вектор
Пусть
M=
2.a
+ b
+ c
=
=
=M
Следует что M-это
Линейная комбинация
векторов a,b и c
Задача 4:
Какие векторы называются линейно зависимыми, а какие – линейно независимыми? Являются ли линейно зависимыми следующие три вектора
;
;
.
Решение:
-
Набор векторов
называется системой векторов. Система
из k
векторов
называется линейно зависимой, если
существуют такие числа
, не все равные нулю одновременно, что
(1.1) -
Система из k векторов
называется линейно независимой, если
равенство (1.1) возможно только при
, т.е. когда линейная комбинация в левой
части равенства (1.1) тривиальная. -
Составим линейную комбинацию и приравняем ее к: a.x+b.y+c.z=0.
У нас z=x-y следует что x-y-z=0 от сюда a=1, b=-1 и c=-1 следует что векторы x, y и z являются линейно зависимыми .
Задача 5:
Что
такое «ранг матрицы»? Чему равны ранги
следующих матриц
?
Ответ объяснить.
Решение:
-
Рангом матрицы A называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. rang A=k, если
-
Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов)
-
Посчитали
количество линейно независимых строк
следует что Ранг матрицы равен 1
Занулили
элементы в 1-ом столбце под 1-ым элементом
Посчитали
количество линейно независимых строк
следует что Ранг матрицы
равен 1
Занулили
элементы в 1-ом столбце под 1-ым элементом
Посчитали
количество линейно независимых строк
следует что Ранг матрицы равен 2
Ответ: rg(A)=1, rg(B) и rg(C)=2
Задача 6:
Какая
из следующих матриц является обратной
к матрице C
=
:
Решение: (Mathcad)
Ответ:
является обратной к матрице C=
Задача 7:
Дано:
;
.
Вычислить B
АT
A.
Решение: (Mathcad)
Задача 8:
В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы сумма двух целых чисел была чётной,….., чтобы каждое слагаемое было чётным.
Решение:
Для того чтобы сумма двух целых чисел была чётной, достаточно, чтобы каждое слагаемое было чётным.
a=2n
и
b=2k где
n и
k
:
a+b=2n+2k=2(k+n)=2m где
m=k+n, m
Задача 9:
В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы число делилось на 15,……., чтобы оно делилось на 5.
Решение:
Для того чтобы число делилось на 15,необходимо, чтобы оно делилось на 5.
Задача 10:
В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы число делилось на 10,….., чтобы оно делилось на 2 и 5.
Решение:
Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 5.
Задача 11:
Среди
заданных БМВ определить, какие из них
имеют одинаковый порядок с xn
=
,
а какие равны о(xn):
а)
б)
в) 2 –
n
г) e
–
2 n
д)
.
Решение:
a)
.
Это
значит, что xn
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем
.
б)
.
Это значит
)
в)
Это
значит
2
–
n)
г)
Это
значит
e
–
2 n)
д)
Это значит, что xn
и
являются величинами одного порядка
Ответ:
д)
Задача 12:
Вычислить
производную
.
Решение: (Mathcad)
Задача 13:
Вычислить
определённый интеграл
.
Решение:
=
Задача 14:
Решить
задачу Коши
Решение:
y=
;
y(0)=1
следует что, 1=
=
следует что, c=0
Ответ:
y=