4. Методические указания к выполнению заданий за 1-ый семестр

4. Вычисление главных центральных моментов инерции

При решении задач, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими (интегральными) характеристиками плоских сечений (ИХС). Эти характеристики имеют применение в основном, в пределах задач изгиба стержней и в силу узкого прикладного значения их рассматривают в курсе сопротивления материалов.

Статическими моментами площади сечения относительно осей Х и Y называются определённые интегралы вида:

, ,(4.1)

где A – площадь сечения, dA – её элемент, а x и y – координаты этого элемента.

Координаты центра тяжести сечения x_c и y_c, составленного из нескольких простых фигур (i-индекс фигуры), определяются соотношениями:

, (4.2)

, (4.3)

где а_i – расстояние между вспомогательной осью Х и центральной осью i-той фигуры Х_i,

b_i – расстояние между вспомогательной осью Y и центральной осью i-той фигуры Y_i,

A_i – площадь i-той фигуры.

Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

Определённые интегралы вида

(4.4)

называются осевыми моментами инерции;

(4.5)

– центробежным моментом инерции сечения относительно осей Х и Y.

Моменты инерции для центральных осей, параллельных вспомогательным:

,

, (4.6)

где – моменты инерцииi-той фигуры относительно собственных центральных осей, параллельных вспомогательным.

Главные оси инерции, т.е. две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, повернуты относительно вспомогательных на угол , определяемый из уравнения:

. (4.7)

Главные моменты инерции, т.е. осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции, определяются следующими выражениями:

J_X=J_xс·cos²α + J_yс·sin²α – J_xcyс·sin2α (4.8)

J_Y=J_yс·cos²α + J_xс·sin²α + J_xcyс·sin2α. (4.9)

Контрольно-обучающая программа для задачи 1.1 позволяет производить расчёт ИХС и одновременно получать заключение о правильности решения на каждом этапе расчёта. При этом программа сравнивает введенные и точные правильные значения. Поэтому лучше вести расчет непосредственно в программе в Excel, а характеристики отдельных фигур сечения брать из приложений данного пособия.

В результате выполнения задания на компьютере студент получает результаты решения части РГР в электронном виде. Эти значения понадобятся студенту для оформления работы дома и для решения оставшейся части РГР.

Для того чтобы воспользоваться программой необходимо:

• получить эскиз сечения у преподавателя;

• знать формулы расчёта ИХС при параллельном переносе осей и при повороте осей;

• иметь в наличии таблицы сортамента прокатной стали (приведены в приложении);

• знать формулы расчёта ИХС простых сечений (приведены в приложении).

Программой предусмотрен расчет ИХС как симметричного и так и несимметричного сечений.

Программа позволяет выполнять и тестировать расчеты сложного сечения, состоящего из не более чем:

- двух прямоугольников,

- двух прямоугольных треугольников,

- одного равностороннего треугольника,

- двух окружностей,

- двух равнобоких уголков разной ориентации с поворотом, кратным ,

- двух неравнобоких уголков разной ориентации с поворотом, кратным ,

- двутавра с поворотом, кратным ,

- двух швеллеров разной ориентации с поворотом, кратным .

Фрагмент листа, где задаются параметры исходных фигур, представлен на рис.4.1.

	█Прямогольник	└ Уголок равнобокий	┘ Уголок равнобокий	┘ Уголок неравнобокий	┬ Двутавр ┴	C Швелер
Есть(1),нет(0) фигуры	0	1	0	0	1	0
Угол от исх. полож.(доли π/2)	-	0	0	0	1,570796	1,57
Высота hi или диаметр(D)	5	-	-	-	-	-
Ширина bi	20	-	-	-	-	-
Номер профиля	-	8	7	10/6,3	14	14
Коорд. y центра тяжести ai	2,5	2,17	0	0	8	6,67
Коорд. x центра тяжести bi	10	16,17	0	0	7	15
Площадь Ai	100	8,63	0	0	17,4	15,6
Центр. момент инерции Jxci	208	52,7	0	0	41,9	45,4
Центр. момент инерции Jyci	3333	52,7	0	0	572	491
Центроб. момент. инер. Jxcyci	0	-30,9	0	0	0	0

Рис.4.1 Фрагмент листа с заданием исходных фигур

Фигуры, присутствующие в сечении отмечаются цифрой 1 в первой строке, а отсутствующие – цифрой 0, не участвующие в расчете фигуры автоматически зачерняются. Соответствующие столбцы можно скрыть. Все введенные ИХС фигур (последние четыре строки), проверяются программой (см. рис. 4.2) предыдущие строки - преподавателем по заданному эскизу.

Коорд. цент. тяж. сечения Xc	10,04
Коорд. цент. тяж. сечения Yc	6,07
Центр. мом. сечения Jxc	290,68
Центр. мом. сечения Jyc	1109,79
Центроб. мом. сечения Jxcyc	-339,31
◄град α0, рад►	-0,35
Глав. цент. мом. сечения JX	168,38
Глав. цент. мом. сечения JY	1326,26
		█Прямогольник	└ Уголок равнобокий	┘ Уголок равнобокий	└ Уголок неравнобокий	┬ Двутавр ┴
	Ai	Правильно	Правильно	Ошибка	Ошибка	Правильно
	Jxci	Правильно	Правильно	Ошибка	Ошибка	Правильно
	Jyci	Правильно	Правильно	Ошибка	Ошибка	Правильно
	Jxcyci	Правильно	Правильно	Ошибка	Ошибка	Правильно
Yc	Правильно
Xc	Правильно
Jxc	Правильно
Jyc	Правильно
Jxcyc	Правильно
◄град α0, рад►	Правильно
JX	Правильно
JY	Правильно

Рис.4.2. Фрагмент листа с контролем решения

Расчет каждого из параметров сечения также контролируется программой (см. рис. 4.2).

0. Все размеры приводятся в сантиметрах.

Примечание: тригонометрические функции EXSEL считает в радианах. Чтобы перевести полученное значение в градусы нужно в ячейке набрать: ‘=ГРАДУСЫ(**)’, где ** – ячейка со значением угла в радианах.

После того, как студент выполнит задание, и результат утвержден преподавателем, результаты расчетов можно использовать для составления отчета и в последующих заданиях.

Примечание: лист «Шаблон» не защищен от сохранения.

Пояснения для пользователя расположены в верхнем левом углу листа (см. рис. 4.3).

Пояснения к шаблону
Зеленые ячейки заполняются в соответствии с задвнием. Выбор исходных осей произвольный.
Неиспользованные столбцы (фигуры) зачерняются автоматичеки и могшут быть скрыты автором
После заполнения белых ячеек в соответствующих ячейках нижней таблицы появляется оценка: "Правильно" или "Ошибка"
Рекомендация: при наборе формул следует ссылаться на ячеки с исходными данными и ранее вычисленные.

Рис.4.3. Фрагмент листа с пояснениями