Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

З.Н. Соколовский, Е.П. Степанова, М.А. Фёдорова, Е.Г.Холкин

ВЫПОЛНЕНИЕ И КОНТРОЛЬ РЕШЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ НА БАЗЕ MS EXCEL

Учебное пособие

Омск – 2013

Рецензенты:

С.А.Макеев, д.т.н., профессор СибАДИ;

А.В.Бородин, д.т.н., профессор ОмГУПС

Соколовский З.Н..

С. 59 Выполнение и контроль решения расчетно-графических работ по сопротивлению материалов на базе MS EXCEL.: учебное пособие /З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова, М.А.Федорова, Е.Г.Холкин. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. – ** с.

Рассматриваются основные математические модели одномерных задач сопротивления материалов, методика решения на ПЭВМ как на базе аналитических решений, так и непосредственным численным интегрированием систем обыкновенных дифференциальных уравнений при соответствующих граничных условиях. Приводятся необходимые справочные материалы и указания к выполнению на ПЭВМ расчетно-графических работ и домашних заданий.

Для задач, имеющих аналитическое решение, предлагаются электронные шаблоны, последовательно контролирующие правильность выполнения основных этапов вычислений. Приводится также описание шаблонов для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений основных задач сопротивления материалов, анализа результатов, перехода к проектным расчетам.

Предназначено для студентов, изучающих основной курс «Сопротивление материалов» и выполняющих расчетно-графические работы и домашние задания; может быть полезно магистрантам и аспирантам, специализирующимся в расчетах на прочность и жесткость.

 Авторы, 2013

 Омский государственный

технический университет, 2013

1. Введение

В сопротивлении материалов рассматриваются приближенные модели механики твердого деформируемого тела, имеющие аналитическое решение и обеспечивающие достаточную для практических расчетов точность вычисления параметров напряженного и деформированного состояний. Эти модели, за редким исключением, представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Например, при всех принятых в сопротивлении материалов допущениях и упрощениях, модель прямого стержня представляется нелинейной системой дифференциальных уравнений 12-го порядка, аналитическое решение которой исключено. Поэтому выделяется группа частных случаев, в которых возможно аналитическое решение. Именно эти задачи и являются основным объектом изучения в традиционном курсе сопротивления материалов. Например, для однородных (из одного материала и постоянного по длине сечения) прямых стержней это: растяжение-сжатие (сжатие силой много меньше критической), прямой поперечный изгиб, кручение стержня круглого сечения, изгиб балки на упругом основании.

Аналитические решения реальных задач приводят к громоздким вычислениям, при выполнении которых приходится привлекать вычислительную технику, специальные приемы вычислений, понижающие порядок систем уравнений и т.д. Поэтому в таких задачах наличие аналитического решения не дает преимущества в сравнении с непосредственным численным интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений модели. Кроме того, непосредственное интегрирование уравнений модели не требует подразделения на частные случаи. Единственное условие – одномерность задачи.

Содержание учебного пособия и расчетно-графических работ направлено на последовательное освоение методов сопротивления материалов и плавный переход численным методам решения задач.

В пособии приводится примерное содержание заданий, основные теоретические сведения, справочные материалы и указания к выполнению расчетно-графических работ и домашних заданий по статике и динамике стержней и стержневых систем, выполняемых в рамках курса «Сопротивление материалов». Пособие ориентировано на выполнение расчетов на ПЭВМ, что существенно облегчает их выполнение и позволяет расширить объем решаемых задач в сравнение с традиционным курсом, сосредоточив внимание на постановке задач, анализе результатов, изучении алгоритмов проверочных и проектных расчетов. Приводимые описания шаблонов для численного интегрирования математических моделей стержней легко могут быть трансформированы для других одномерных задач сопротивления материалов: изгиб круглых пластин, балок на упругом основании, составных труб и быстровращающихся дисков, вынужденных колебаний конечно массовых систем и др.

В качестве основного программного продукта используется общедоступный продукт - MS EXCEL.

На первом этапе обучения (в первом семестре) для закрепления основных зависимостей теории стержней и освоения навыков применения MS EXCEL в инженерных расчетах предлагаются задачи, имеющие аналитическое решение. Авторами разработаны контрольно-обучающие программы:

• вычисление главных центральных моментов инерции сложного сечения, состоящего из прямоугольников, треугольников, окружностей, уголков, швеллеров и двутавров;

• расчет внутренних сил и перемещений при растяжении – сжатии прямого стержня не более чем двумя силами и одной равномерно распределенной погонной нагрузкой на основе аналитического решения при произвольных местах приложения нагрузки и способах закрепления;

• расчет внутренних сил и перемещений при поперечном изгибе не более чем двумя силами, двумя моментами и одной равномерно распределенной погонной нагрузкой прямого стержня на основе аналитического решения при произвольных местах приложения нагрузки и способах закрепления.

Задание выдается преподавателем каждому студенту индивидуально. Выполнение заданий с использованием контрольно-обучающих программ позволяет студенту осуществлять трудоёмкий процесс расчёта в компьютерном классе на практическом занятии или дома. Потом необходимо лишь оформить результаты расчетов.

Контрольно-обучающие программы представлены в EXCEL, требуют от студента знание теоретического материала по курсу «Сопротивление материалов» и минимальных навыков работы на компьютере. Правильность каждого этапа расчета контролируется программой. Студент имеет возможность сразу найти ошибку самостоятельно или с помощью преподавателя.

Задания должны быть выполнены не только правильно, но и аккуратно. При расчёте геометрических характеристик чертеж сечения необходимо выполнить в масштабе с указанием размеров, требуемых для вычислений.

Расчетные схемы стержней и графики внутренних сил и перемещений следует выполнять в масштабе с использованием графических средств EXCEL.

Пример выполнения и оформления здания на первый семестр приведен в учебном пособии. Справочные данные по простым сечениям приведены в приложении.

Рекомендуется оформление отчета на ПЭВМ.

Задание на первый семестр состоит из трёх задач:

ЗАДАЧА 1.1 Вычисление положения главных центральных осей и моментов инерции сечения.

Дано: составное поперечное сечение (симметричное и несимметричное).

1. Найти положение центра тяжести, положение главных центральных осей и величины главных моментов инерции сечений.

2. Выполнить чертежи сечений в масштабе с нанесением главных центральных осей. Указать основные размеры, расстояния, положение осей, координаты характерных точек в главных осях.

ЗАДАЧА 1.2 Растяжение-сжатие.

Дано: схема нагружения, способ закрепления, значение нагрузок и координаты их приложения.

1. Записать аналитические выражения продольной силы N(z), осевого перемещения W(z), граничные условия задачи.

2. Выполнить необходимые расчеты и оформить чертеж расчетной схемы стержня и графики продольной силы и осевого перемещения. Определить запас прочности по нормальным напряжениям для обоих сечений (см. задачу 1.1), приняв величину допускаемого напряжения [σ] в соответствии с заданием.

3. Вычислить главные линейные деформации в точках опасного поперечного сечения и изменение поперечных размеров сечений после деформации.

ЗАДАЧА 1.3 Поперечный изгиб.

Дано: схема нагружения, способ закрепления, значение нагрузки координаты их приложения.

1. Записать выражение поперечной силы Qy(z), изгибающего момента Mx(z), углов поворота сечений φ(z), вертикальных перемещений V(z) и граничные условия задачи.

2. Выполнить необходимые расчеты и вычислить значения Qy, Mx, φ и V в характерных точках. Оформить чертеж расчетной схемы стержня и графики Qy(z), Mx(z), φ(z), V(z).

3. Определить запас прочности по нормальным напряжениям от нагружения поперечными силами и изгибающими моментами для обоих сечений (см. задачу 1.1), приняв допускаемое напряжение [σ] в соответствии с заданием.

4. Для несимметричного сечения определить запас прочности по нормальным напряжениям при одновременном нагружении поперечными и продольными силами и изгибающими моментами. Считать, что внешние изгибающие нагрузки действуют в вертикальной плоскости (косой изгиб с растяжением-сжатием).

На втором этапе обучения (во втором семестре) в MS Excel проводится непосредственное численное интегрирование системы дифференциальных уравнений плоского изгиба и растяжения и кручения прямых стержней при соответствующих граничных условиях. Студентам предоставляется шаблон программы численного интегрирования системы при произвольных граничных условиях и вычисления эквивалентных напряжений σ_экв в любых точках сечения и 200 точках вдоль оси стержня.

Для освоения шаблона студентам предлагается построить графики внутренних сил и перемещений в задачах 1.2, 1.3 и 1.4 и сравнить результаты с аналитическими расчетами в первой части. Затем шаблон используется для выполнения расчетов задач второго семестра. При этом студенты самостоятельно вносят в него изменения и дополнения, необходимые для реализации соответствующих алгоритмов.

Задание на второй семестр базируется на данных из первого семестра и состоит из следующих задач:

ЗАДАЧА 2.1 Растяжение, косой изгиб и кручение.

2.1.1. Построить графики внутренних сил и перемещений при растяжении-сжатии и косом изгибе несимметричного сечения непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений, определить запас прочности и положение опасного сечения и опасной точки этого сечения. Сравнить с результатами 1-го семестра (эпюры должны отличаться незначительно, запас прочности быть меньше меньшего значения, определенного отдельно для растяжения и изгиба).

2.1.2. Изменить способ закрепления в задаче по указанию преподавателя и сделать вывод об его влиянии на прочность и жесткость.

2.1.3. Из расчета на прочность в задаче 2.1.1 определить диаметр d круглого сечения. Сравнить площади сечений в задачах 2.1.1 и 2.1.3.

2.1.4. В задаче 2.1.2 приложить два одинаковых по модулю и противоположных по знаку крутящих момента L_к в точках, указанных преподавателем, принять диаметр равным d/2 и найти допустимое значение L_к из расчета на прочность.

Последующие задачи строятся на основе задачи изгиба

симметричного сечения за первый семестр.

ЗАДАЧА 2.2 Неразрезная балка, рама, продольно-поперечный изгиб.

1. Добавить промежуточные опоры. Место установки

согласовывается с преподавателем. Оценить изменение максимальных напряжений и перемещений.

2.2.2. По указанию преподавателя оставить одну сосредоточенную силу или момент и определить с помощью интеграла Мора (способом Верещагина):

- в статически определимой задаче прогиб или угол поворота нагруженного сечения,

- в статически неопределимой задаче - реакции опор.

3. Стержень изогнуть в раму. Место и направление изгиба

согласовывается с преподавателем. Оценить изменение максимальных напряжений и перемещений.

2.2.3.Определить коэффициент приведения длины μ по Эйлеру (направление и место приложения силы согласовывается с преподавателем).

ЗАДАЧА 2.3 Динамика прямых стержней.

1. В задаче 2.1.1. для симметричного сечения из расчета на прочность

определить допустимую высоту падения на балку груза массой две массы стержня. Податливость в точке падения определить численно. Место падения груза согласовывается с преподавателем.

2. Для стержня симметричного сечения определить три низшие частоты

собственных поперечных колебаний.

ЗАДАЧА 2.4 Плоский изгиб и растяжение кривых стержней.

1. Модернизировать шаблон применительно к математической

модели кругового стержня. В задаче 2.1.1 при изгибе и растяжении стержень изогнуть в арку (направление и угол изгиба согласовывается с преподавателем). Оценить изменение максимальных напряжений и перемещений.

Специальное задание.

Выдается студентам, успешно выполнившим обязательное задание за две недели до окончания семестра, и дает право на экзамен-автомат с отличной оценкой. Включает в себя одномерные задачи сопротивления материалов, для которых неизвестно или трудоемко аналитическое решение.

Требования к оформлению аналогичны. Примеры оформления отчета приведены в 6-ой главе пособия.