Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

вующих заводов-изготовителей были определены локальные крите­ рии функционирования необходимого оборудования. Исходные данные представлены в следующей таблице:

*Значения локальных критериев даны в условных единицах.

9.3.Для шести проектов транспортных устройств определены относительные единичные показатели технического совершенства конструкций. Численные значения единичных показателей и соот­ ветствующие весовые коэффициенты приведены в следующей таб­ лице:

Проведите ранжировку проектов технических систем по ком­ плексному критерию.

9.4. Абсолютные показатели качества двигателей различных ва­ риантов приведены в следующей таблице:

340

Найдите оптимальный вариант двигателя.

9.5. Показатели эффективности работы предприятий приведе­ ны в следующей таблице:

Выберите наиболее эффективно работающее предприятие. 9.6. Рассмотрим следующую платежную матрицу (матрицу до­

ходов):

341

Вероятности состояний природы {.5^} неизвестны. Определите оптимальную стратегию /?/, используя критерии Лапласа и максимина. Сравните полученные решения.

9.7.Сравните решения в задаче 9.6 при использовании крите­ риев Сэвиджа и Гурвица (положите а = 0,4).

9.8.Один из пяти станков должен быть выбран для изготовле­ ния партии изделий, размер которой Q может принимать три зна­ чения: 150; 200; 350. Производственные затраты Q для / станка за­ даются следующей формулой

Решите задачу для каждого из следующих критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (положите а = 0,6). Полученные реше­ ния сравните.

9.9. При выборе стратегии Rj (/ = 1,3) каждому возможному состоянию природы S,{i =1,4) соответствует один результат (исход) Vjiij = 1,3; / = 1,4). Элементы Vji, являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены ниже в таблице (д. е.):

342

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при а = 0,5).

9.10. Намечается крупномасштабное производство легковых ав­

проекта в зависимости от рентабельности производства. По истече­ нии трех сроков Si(i =1,3) рассматриваются как некоторые состо­ яния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следу­ ющей таблице (д. е.):

Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гур­ вица при а = 0,1. Сравните решения и сделайте выводы.

9.11. Определите тип электростанции, которую необходимо по­ строить для удовлетворения энергетических потребностей комплек­ са крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры:

Ri — сооружается гидростанция; J?2 — сооружается теплостанция; i?3 — сооружается атомная станция.

Экономическая эффективность сооружения электростанции за­ висит от влияния случайных факторов, образующих множество со­ стояний природы S^iJ =1,5).

Результаты расчета экономической эффективности приведены в следующей таблице:

343

9.12. Фирма рассматривает вопрос о строительстве станции тех­ нического обслуживания (СТО) автомобилей. Составлена смета расходов на строительство станции с различным количеством об­ служиваемых автомобилей, а также рассчитан ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения прогнозируемого спроса на предла­ гаемые услуги СТО (прогнозируемое количество обслуженных ав­ томобилей в действительности). В зависимости от принятого реше­ ния ~ проектного количества обслуживаемых автомобилей в сутки (проект СТО) Rj и величины прогнозируемого спроса на услуги СТО - построена нижеследующая таблица ежегодных финансовых результатов (доход, д. е.):

Определите наилучший проект СТО с использованием критери­ ев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при а = 0,5).

9.13. Найдите седловую точку и значение игры для каждой из двух следующих иф. Платежные матрицы имеют вид:

9.14.Определите области значений х, для которых стратегии А2

и^2 будут оптимальными в следующих ифах:

9.15. Определите, будут ли значения следующих игр больше, меньще или равны нулю:

344

345

Глава 10

Нелинейное программирование

10.1. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования

Если целевая функция или система ограничений (или и та и другая) содержит выражения, не линейные относительно искомых величин, то имеем задачу нелинейного профаммирования.

Общая формулировка задачи имеет вид:

при ограничениях

/•(xi, x-i, ..., х„) > О, Xj > О, / = 1, /я,у = 1, п.

346

Если все неравенства преобразовать в уравнения, то получим классическую задачу на условный экстремум, которая может быть решена методом множителей Лагранжа. Практически системы по­ лучаются трудно разрешимыми, поэтому ограничения преобразуют в неравенства, и задачу решают методами математического про­ граммирования. Существующие методы позволяют решать узкий класс задач.

С помощью большинства вычислительных методов можно най­ ти точку локального оптимума, но нельзя установить, является ли она точкой глобального (абсолютного) оптимума или нет.

Если в задачах линейного программирования точка экстремума является вершиной многогранника, то в задачах нелинейного про­ граммирования она может лежать в вершине многогранника, на ребре (грани) или внутри области. Если задача содержит нелиней­ ные ограничения, то область допустимых решений не является вы­ пуклой и кроме глобального оптимума могут существовать точки локального оптимума.

Рассмотрим несколько примеров решения задач графическим методом.

Пример 10.1.

^max,min = 2(х - 5)^ + (у - if

х-Ь2у< 12; х-^у<9; х>0;у>0.

Решение

Построим область допустимых решений (рис. 10.1):

У

i

А Л)

"^

Рис. 10.1. Область допустимых решений

347

На этом же графике построим одну из семейства целевых функций, для этого преобразуем Z в каноническую форму

1—ji^^i:L ^— = 1. Получим уравнение эллипса с полуосями

a^-yjz/2; b = 4z. Полагая Z = 16, имеем b = 4; a ~ 2,8. Согласно

чертежу максимальное значение Z достигается в точке (0;0) Z^^^x ~ = 2 • 25 + 49 = 99; Zj^j^ достигается в точке Z), в которой эллипс касается области ОАВС. Для нахождения координат точки D приравняем угловые коэффициенты первой прямой и целевой

функции: у = - 1/2 л: ~ 6; О = 4(x - 5) + 20; ~ 7)У; у^ ^^2(х~5),

у-7

-1/2 = —^^ -; упрощая, получим: 4(х - 5) = д; - 7.

у-7

Решая совместно систему

4(х-5) = з;-7 х + 2>; = 12.

находим координаты точки

D (38/9; 35/9).

Zmin = 2(38/9 - 5)2 + (35/9 - 7)^ « 11.

Пример 10.2.

Решение

В этом случае область допустимых решений не является выпук­ лой и состоит из двух отдельных частей (рис. 10.2).

Минимальное значение функции Z = 11 достигается в точках А

(1; 4) и L (4; 1). Функция Z имеет два локальных максимума: в точ2417

ках D (2/3; 6); Z = 328/9 и в точке М (7; 4/7); Z = ^=j^, Точка М

348

IV

X1

Рис. 10.2. Область допустимых решений

10.2. Метод множителей Лагранжа

Пусть задана задача математического программирования: мак­ симизировать функцию

Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее ре­ шения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. При этом полагаем, что функции (10.2) и (10.3.) непрерывны вместе со сво­ ими первыми частными производными.

Для решения задачи составим функцию

нулю. В результате получим систему уравнений

349