Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

Процесс установления рыночных отношений в нашей стране порождает различные виды рисковых ситуаций, более того, в рабо­ те предприятий риск становится необходимым и обязательным его компонентом.

Чтобы проиллюстрировать различие между ситуациями, когда приходится принимать решения в условиях риска или в условиях неопределенности, рассмотрим задачу оптимального выбора ассор­ тимента выпускаемой продукции.

Вусловиях риска доход Cj от реализации единицы продукции j не является фиксированной величиной. Напротив, это случайная величина, точное числовое значение которой не известно, но опи­ сывается с помощью функции распределения Дсу). Часть дохода cjXp определяемая продукцией у, также случайная величина, если даже значение переменной Хр определяющей уровень выпуска про­ дукции/, задано.

Вусловиях неопределенности функция распределения fj{c) не­ известна. В действительности неопределенность не означает пол­ ного отсутствия информации о задаче. Например, известно, что Cj может принимать пять значений, но неизвестны вероятности этих значений. Эта ситуация рассматривается как принятие решений в условиях неопределенности.

Таким образом, с точки зрения полноты исходных данных оп­ ределенность и неопределенность представляют два крайних слу­ чая, а риск определяет промежуточную ситуацию, в которой при­ ходится принимать решение.

Степень неинформированности данных определяет, каким об­ разом задача формализуется и решается.

При решении задач в условиях неопределенности внешней сре­ ды наиболее часто возникают две ситуации. При первой ситуации сама система препятствует принятию решений, например задача составления графика выпуска на работу подвижного состава, зани­ мающегося перевозкой сельхозпродукции, в зависимости от того, будет дождь или нет. В этой задаче природа будет восприниматься как «доброжелательный» противник.

Во второй ситуации возможно наличие конкуренции, когда два (или более) участника находятся в конфликте и каждый стремится как можно больше выиграть у другого (других). Эта ситуация отли­ чается от обычных процессов принятия решений в условиях нео­ пределенности тем, что лицу, принимающему решение, противо­ стоит мыслящий противник. Теория, в которой рассматриваются задачи принятия решений в условиях неопределенности при нали­ чии противника («доброжелательного» или мыслящего), известна как теория игр.

310

9.2. Принятие решений в условиях полной определенности

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятие решений может производиться:

•по одному критерию;

•по нескольким критериям.

Пример 9.1. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. С помощью экспериментальных наблюдений были определены зна­ чения частных критериев функционирования соответствующего оборудования {аф, выпускаемого тремя заводами-изготовителями. Рассмотрим данные для выбора оптимальной стратегии в условиях полной определенности (табл. 9.1).

* Значения частных критериев дань[ в условных единицах.

На основе экспертных оценок были также определены веса ча­ стных критериев Xpj =1,4:

Xj = 0,4; ^2 = 0,2; Л3 = 0,1; Л4 = 0,3.

Очевидно, выбор оптимальной стратегии (варианта оборудова­ ния) по одному критерию в данной задаче не вызывает затрудне-

311

НИИ. Например, если оценивать оборудование по надежности, то лучшим является оборудование завода 1 (стратегия Xj).

Выбор оптимального решения по комплексу нескольких крите­ риев (в нашем примере ~ по четырем критериям) является задачей многокритериальной.

Один из подходов к решению многокритериальных задач уп­ равления связан с процедурой образования обобщенной функции /} ((3/1; ац', а^у, ...; a^^j), монотонно зависящей от критериев а^; Л/2>

Д/з; •••; ^in- Данная процедура называется процедурой (методом) свер­ тывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например:

•метод аддитивной оптимизации;

•метод многоцелевой оптимизации и др.

Рассмотрим подробнее метод аддитивной оптимизации.

Пусть

Fi(ay)=^Xj'ay. (9.1)

Здесь выражение (9.1) определяет аддитивный критерий опти­ мальности. Величины Л/ являются весовыми коэффициентами, ко­ торые определяют в количественной форме степень предпочтения у-го критерия по сравнению с другими критериями. Другими сло­ вами, коэффициенты Xj определяют важность у-го критерия опти­ мальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е.

Обобщенная функция цели (9.1) может быть использована для

свертывания частных критериев оптимальности, если:

•частные (локальные) критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие не­ которое число Хр которое численно характеризует его важность по отношению к другим критериям;

•частные критерии являются однородными (имеют одинако­ вую размерность; в нашем примере критерии «стоимость оборудо­ вания» и «производительность оборудования» в условных денеж­ ных единицах будут однородными).

В этом случае для решения задачи многокритериальной опти­ мизации оказывается справедливым применение аддитивного кри­ терия оптимальности.

Допустим, в примере 9.1 необходимо выбрать оптимальный ва­ риант оборудования по двум однородным локальным критериям:

•производительность (д. е.);

•стоимость оборудования (д. е.).

312

На основе экспертных оценок были определены весовые коэф­ фициенты этих двух частных критериев: Л^ = 0,667, А,2 = 0,333. Вы­ числим аддитивный критерий оптимальности для трех вариантов:

F^ia^j) = Л1 ^11 + ^2 «12 = 0,667 • 5 + 0,333 • 7 = 5,666; ^2(«2у) = ^1 «21 + ^2 «22 = 0>667 • 3 + 0,333 • 4 = 3,333; ^з(«3/) = '^i «31 + ^2 «32 = 0.667 • 4 + 0,333 • 6 = 4,666.

Очевидно, первый вариант оборудования по двум частным сто­ имостным критериям будет оптимальным, так как F^^^^ — Fi(aiJ) = = 5,666. В примере 9.1 четыре локальных критерия не однородны, т.е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев. Под нормализацией критериев понимает­ ся такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измере­ ния. К настоящему времени разработано большое количество схем нормализации. Рассмотрим некоторые из них.

Определим максимум и минимум каждого локального крите­ рия, т. е.

Выделим группу критериев a^j =1,^, которые максимизируют­ ся при решении задачи, и группу критериев aj,J = ^ + \,п, которые минимизируются при решении задачи.

Тогда в соответствии с принципом максимальной эффективно­ сти нормализованные критерии определяются из следующих соот­ ношений:

313

Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспе­ чивает максимальное значение функции цели:

В соответствии с принципом минимальной потери нормализо­ ванные критерии определяются из соотношений

При этом оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает минимальное значение функции цели (9.9).

Пример 9.2.

Используя данные примера 9.1, определите оптимальную стра­ тегию выбора оборудования из трех возможных (т = 3) с учетом четырех локальных критериев (л = 4).

Решение

1. Определим max и min каждого локального критерия:

2.При решении задачи максимизируются первый (производи­ тельность) и четвертый (надежность) критерии, а минимизируют­ ся второй (стоимость оборудования) и третий (энергоемкость) кри­ терии.

3.Исходя из принципа максимизации эффективности, норма­ лизуем критерии:

314

«1

fl2i=-7 = 7 = ^'^'

«31=—----0,8, «1 ^

«4

at 6

А ^24 _ 3 _ х ;..

« 2 4 = - — - 7 - 0 , 5 ,

«4 ^

«34 _ 4 _ 2

«/2=1—7-

«2

а22=1-:221^1_4^з.

аз2=1 - ^^=1 _ б^1 aj 7 ?•

315

« 2 3 = 1 - ^ = 1 - 1 = 0;

4. Определим обобщенную функцию цели по каждому варианту: /•, = Л] fli, + Л2 Й12 + A3 ai3 + А4 «14 =

= 0,4-1 + 0,20+0,Ьу+ 0,3-1 = 0,729;

Г2 = ^1 ^21 "^ ^^2 ^22 "^ ^3 ^23 "^ ^4 ^24 ^

= 0,4.0,6 + 0,2.| + 0,Ь0 + 0,30,5«0,476;

^3 == ^1 ^31 + ^2 ^32 "^ ^3 ^33 "^ ^^4 ^34 =

= 0,4.0,8 + 0,2-~ + 0,1 . | + 0,3.|«0,603.

Оптимальным является первый вариант оборудования, так как f = /г, = о 729

Рассмотренный подход к решению многокритериальных задач зачастую применяется при решении экономических задач, связан­ ных с оценкой качества промышленной продукции и оценкой уров­ ня технического совершенства технических устройств и систем по нескольким показателям.

Другим возможным методом решения многокритериальных за­ дач является метод последовательных уступок. Вначале критерии ранжируются и нумеруются в порядке убывания важности. Абсо­ лютное значение коэффициентов важности Xj на этом этапе не иг­ рает никакой роли. Оптимизируется первый по важности критерий fli и определяется его экстремальное значение ai. Затем назначает-

316

ся величина допустимого отклонения критерия от оптимального значения (уступка) Aaj и ищется экстремальное значение второго по важности критерия ^2» при условии, что отклонение первого от оптимального значения не превзойдет величины уступки. Затем назначается уступка для второго критерия, и задача оптимизирует­ ся по третьему критерию и т. д. Таким образом, многокритериаль­ ная задача оптимизации заменяется последовательностью однокритериальных задач. Решение каждой предыдущей задачи использу­ ется при решении последующих для формирования дополнитель­ ных условий, состоящих в ограничении на величину уступки.

9.3. Принятие решений в условиях риска

Основными критериями оценки принимаемых решений в усло­ виях риска являются:

•ожидаемое значение результата;

•ожидаемое значение результата в сочетании с минимизацией его дисперсии;

•известный предельный уровень результата;

•наиболее вероятное событие (исход) в будущем.

Критерий ожидаемого значения используется в случаях, когда требуется определить экстремальное значение (max или min) ре­ зультативного показателя (прибыль, расходы, экономические поте­ ри и т. д.). Применение этого критерия рассмотрим на конкретном примере, связанном с постановкой задачи проведения ремонтнопрофилактических воздействий автомобилей. Оптимальное коли­ чество ремонтных воздействий, определенное минимизацией сум­ марных затрат на заданной наработке L^ с учетом рисков пропуска отказов и выполнения лишних ТО, приравнивается к количеству ТО на указанном пробеге. Модель данной задачи является моделью вероятностного спроса на ремонты с мгновенным восстановлени­ ем. Здесь минимизируются суммарные издержки за пробег L^, ко­ торые определяются затратами на плановый ремонт S^, профилак­ тику SjQ и незапланированный аварийный ремонт S^, рассматри­ ваемый как штраф за пропуск отказа:

Составляющие суммарных затрат формулы (9.14) зависят от ко­ личества ремонтно-профилактических операций за наработку Z^, определяемых по формуле

где LOT — наработка до отказа.

317

Наработка до отказа — величина случайная, определяемая плот­ ностью распределения Д/^от), L^^ < L^. В силу случайности L^j, ве­ личина п также будет случайной с плотностью распределения

^w^vl-4^] (9.16)

Используя Дл) как весовую функцию и выражая составляющие суммарных затрат через соответствующие стоимости из (9.14), по­ лучим

где С, — средняя стоимость предупредительного (планового) ремонта; Сто ~ средняя стоимость профилактики (или убыток от недоиспользо­

вания ресурса замененных при ТО деталей); Сц, - ущерб (штраф) от пропуска отказа (или стоимость устранения

аварийного отказа). Очевидно, Сщ > CJQ,

Интеграл (9.16) в пределах [О, п^] соответствует риску выполне­ ния лишних ТО (избыточность затрат на ТО), а интеграл в преде­ лах [Alp, оо] - риску пропуска аварийных отказов (избыточность за­ трат на ТР по потребности). Из уравнения (9.17) находим опти­ мальное количество ремонтов п^ на пробеге L^ (обычно L^ — про­ бег до КР). Далее, заменяя необходимые ремонты обслуживаниями, при которых выполняется комплекс операций по предупреждению отказов, включая предупредительные замены деталей, получим

Пример 9.3. Определить оптимальную периодичность ТО (у. е.) при 1^ = 200 тыс. км, Сщ = 69, Ср = 24, C^Q = 15, если наработки до отказа имеют нормальное распределение с параметрами LQJ = = 20 тыс. км и а^ = 5 тыс. км.

Решение

Выполнив преобразование распределения (9.19) по формуле (9.15), получим (п > 1):

318

После подстановки выражения (9.20) в (9.17) получим задачу оптимизации, для решения которой воспользуемся математичес­ ким пакетом EUREKA.

Решая задачу, получим оптимальную периодичность LJQ ~ ^^'^ тыс. км при Лр = 13,08, которая обеспечивает минимальные сум­ марные издержки S.

Критерий ожидаемого значения позволяет получить достовер­ ные оценки в случае, когда одно и то же решение приходится при­ нимать достаточно большое число раз, так как замена математиче­ ского ожидания выборочными данными правомерна лишь при большом объеме выборки.

Если необходимость в принятии решения встречается редко, то выборочное значение может значительно отличаться от математи­ ческого ожидания, а применение критерия ожидаемых значений может приводить к ошибочным результатам. В таких случаях реко­ мендуется применять критерий ожидаемого значения в сочетании с минимизацией его дисперсии, что приближает выборочное значение к математическому ожиданию. Критерий принимает следующий вид:

\M{X)^K^D{X)~^mm

где X — случайная величина (например, суммарные издержки); D(X) — дисперсия этой величины;

К— заданная постоянная.

Постоянную К иногда интерпретируют как уровень несклонно­ сти к риску Считается, что К определяет «степень важности» дис­ персии D{X) по отношению к М(Х). Например, предприниматель, особенно остро реагирующий на большие отрицательные отклоне­ ния прибыли вниз от М(Х), может выбрать iST много больше едини­ цы. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему большие потери прибыли.

Критерий предельного уровня не позволяет получить оптималь­ ное решение, найти максимум прибыли и минимум расходов. Этот критерий дает возможность определить приемлемый (допустимый) способ действий. Например, транспортная фирма распродает авто­ мобили, бывшие в эксплуатации. По каждой модели автомобиля определенного возраста определяется лимитная цена, т. е. мини-

319