Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сопроматчасть1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

7.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Моменты инерции сложных сечений равны сумме моментов инерции простых фигур на которые разбито это сечение:

n		n		n
Jx = å(Jx )i	;	Jy = å(J y )i	;	Jxy = å(Jxy )i .	(3.8)
i=1		i=1		i=1

3.3 Изменение моментов инерции при повороте осей координат

При повороте осей (х1; у1) на какой-либо угол α по отношению к исходным (рис. 3.3, а) моменты инерции изменяются:

J x

= J x cos2 α + J y sin 2 α − Jxy sin 2α =

J x + J y

J x

− J y

cos2α − Jxy sin 2α ;

J y

= Jx sin 2 α + J y cos2 α + J xy sin 2α =

J x + J y

−

− J y

cos2α + J xy sin 2α ;

(3.9)

J x y

J x − J y

sin 2α + J xy cos2α .

у1

Х1

α0

х1

	а)	б)
	а)	Рис. 3.3
		Рис. 3.3

Эти зависимости справедливы только для осей с общим началом координат. Положительный угол α отсчитывается от оси х в направлении кратчайшего поворота ее до совмещения с осью у.

3.4 Определение главных моментов инерции и направления главных осей

Положение главных осей находится по формуле:

tg2α0 = -	2Jxy	,	(3.10)

	J x - J y

где α0 – угол, на который нужно повернуть оси х и у, чтобы получить положение главных осей. При α0>0 поворот оси х до совмещения с главной осью производится против часовой стрелки.

Главные моменты инерции вычисляются по формуле (3.9), если в них положить α=α0, или по формулам:

JU	=	Jx + J y	±	1	(J x - J y )2	+ 4Jxy2 ;
		2		2
						(3.11)
		Jx + J y		1
JV	=		m		(J x - J y )2	+ 4Jxy2	.
		2		2

Причем верхние знаки следует брать при J x > J y , а нижние
при J x < J y . Правило инварианта:						Jx + J y = J xn + J yn = Jmax + Jmin = const .

При повороте осей сумма осевых моментов инерции относительно перпендикулярных осей остается величиной постоянной.

Понятие о радиусе инерции: момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно записать в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, которую называют радиусом инерции:

Jx = ò y2dA = A×ix2 ,

(3.12)

где ix – радиус инерции относительно оси х.

Тогда

ix =

J y

(3.13)

Относительно главных осей

радиусы инерции будут равны

соответственно:

iU =

;

(3.14)

3.5 Методика определения положения главных осей, величин главных моментов инерции, радиусов инерции

1.Любая сложная фигура разбивается на простейшие (прямоугольник, квадрат, треугольник, полуокружность, четверть окружности и т.д.), геометрические характеристики которых известны, рис.3.4.

2.Проводится произвольная система прямоугольных координат (вспомогательные оси) относительно которых

положение центров тяжести любой простейшей фигуры является величиной известной.

3.По формулам (3.3) определяется центр тяжести всей

фигуры и проводятся центральные оси хс и ус, которые параллельны центральным осям простейших фигур.

4.Используя зависимость изменения моментов инерции при параллельном переносе осей (формулы 3.7, 3.8’), определяют

моменты инерции и центробежный момент инерции всей фигуры относительно центральных осей.

5.По формуле (3.10) вычисляют положение главных осей

инерции (угол α0).

6.Определяют по формулам (3.11) главные моменты

инерции.

7.По формулам (3.14) вычисляют главные радиусы инерции.

3.6 Геометрические характеристики некоторых плоских сечений

yc = 43πR

h Ус= h/3

A = b×h

π D2

= bh

π D

= Jy

= hb

π D

JP =

= iy

π D2

A =

π D

A = 4 (1-α 2)

Х α =

= J y

π D4

128

Х1

= 0,11R4

= J

π D

(1-α 4)

ix = 0,265R

= i

1+α 2

У У1 U

Х1

3π

				С
		b
A =		1 bh2
			2
Jx	=		bh3
Jx	=			36
				36
Jx	=			bh3
Jx	=			12
1				12
1

A = π16D2

Jx = Jy = 0,0549R4 Jxy = 0,0165R4

Jx1 = Jy1 = 0,196R4 JV = 0,071R4

JU = 0,0384R4

iv = 0,302R iu = 0,221R

h	С

b B

Х	h	=h/3		Х
		у		Х
		с
	Х1		С	Х1
			С

b/2

A = 12 bh

Jx	=	bh3
		36

Jy	=	hb3
		48

Рис54. 3.4

A = BH − bh

BH 3

- bh3

- hb

ix =

BH 3

-bh3

12(BH -bh)

HB3

- hb3

12(BH - bh)

=h/3

A = 1 bh

bh3

hb3

Jxy

= -

b2h2

3.7 Примеры определения геометрических характеристик сложных фигур

Пример 1.

Определить для заданного плоского сечения (рис.3.5)

положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции. R=5 см.

	1
b	b
b	2
	b

Y1 YС		Y2			V
I					V
I
C1						Х1	ХС
R						Х1	ХС
R		C					Х2
		C	C2				Х2
			C2
						U
a1		a2
a1		a2
		a			II
		a
				1,5R

	Рис 3.5

1. Определение центра тяжести фигуры.

а) Разобьём фигуру на полуокружность и треугольник, проведем центральные оси х1-у1, х2-у2 этих фигур параллельные сторонам треугольника.

б) Проведем вспомогательные оси, относительно которых будем находить смещение центра тяжести всей фигуры.

Вспомогательные оси рациональнее совмещать с центральными осями какого-либо из элементов сложной фигуры, т.к. статические

моменты этого элемента относительно центральных осей равны нулю. В рассматриваемом примере вспомогательные оси совместим с осями х1-у1 (центральные оси полукруга).

в) Используя зависимости (3.3), определяем центр тяжести фигуры и проводим центральные оси хс -ус.

π D2 æ

å(Sy )i

SАi × xCi

А1 × xC1

+ А2 × xC2

А2 ×a

3π

×1,5R ÷

x =

i=1

8 è

;

SА

А + А

π D2

×1,5R

å Ai

i=1

39,25(2,12 + 2,5)

= 2,36 cм

;

39,25 + 37,5

π D

öù

å(SX )i

å Ai × yCi

A1 × yC1

+ A2 × yC2

A2 ×b

ê-ç R -

2R ÷ú

y =

i=1

øû

;

+ A2

A1 + A2

å Ai

i=1

- 39,25× 5

= -0,85 cм .

76,75

Центр тяжести С всей фигуры должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести полукруга и треугольника.

2. Определяем моменты инерции относительно центральных осей, применяя зависимость (3.7).

(JX 1 + A1 ×b12 )+ (JX2

+ A2b22 );

JXC

= å(JXC )i =

i=1

b = y

= 0,85 cм

= b - y

- 0,85 = 0,82 cм .

πD

1,5R(2R)

ú ;

J X C

= ç

× yC ÷

+ ê

1,5R

×2R ×(b - yC )

128

X C

3,14 ×104

3,14 ×102

×0,85

1,5×5×103

1,5×5

×2 ×0,82

= 507,2 cм

;

128

JyC

= å(J yC )i = (J y1

+ A1 ×a12 ) + (J y2

+ A2 ×a22 ) ;

i=1

a1 = xC = 2,36 cм ,

a2 = a - xC = 4,62 - 2,36 = 2,26 cм ;

πD2

2R(1,5R)3

J yC

= (0,11R

× xC )

1,5R ×2R(a - xC )

ú ;

= 0,11×5

3,14×10

×2,36

10 ×7,53

1,5×5

× 2 ×2,26

= 596,1cм

;

(Jx1 y1

+ F1a1 ×b1 )+ (Jx2 y2

+ F2a2 ×b2 ) ;

JxC yC

= å(JxC yC )i =

i=1

Jx1y1 = 0;

J xC yC =

πD2

(-xC )(yC ) -

(1,5R)2 (2R)2

1,5R ×2R ×(a2 )(-b2 ) ;

xC yC

= -

3,14×10

2,36×0,85 -

4× 2,25×54

-1,5×5

× 2,26 ×0,82 = -226,3 cм

3. Определение положения главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

tg2α0	= -	2JxC yC		= -	2(-226,3)	= -5,09	;
		J xC	- J yC		507,2 -596,1

α0 = -39о 26¢ .

Так как α0<0, ось хс должна быть повернута до совмещения с

главной

осью

по

часовой

стрелке.

Поскольку J yC > JxC ,

то JU = Jmin , JV = Jmax .

JU =

JxC

+ J yC

(Jx - Jy )2 + 4Jx2 y

C C

= 507,2 + 596,1 - 1

= 321,03 cм4

(507,2 - 596,1)2 + 4×226,32

J xC

+ J yC

JV =

(JxC

- J yC ) + 4J xC yC

= 551,65

+ 230,62 = 782,27 cм

JxC

+ J yC

= JU + JV ;

507,2 + 596,1 = 321,0 + 782,3=1103,3

4. Определяем главные радиусы инерции:

= 3,19 cм .

i =

321,03

= 2,04 cм ;

i =

782,27

76,75

Пример 2

Определить для плоского сечения, изображенного на рис.3.6

положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции. Швеллер № 30, уголок

125×80×10.

Справочные данные:

ë № 125×80×10 В=12,5 см, b=8 см,

А=19,7 см2, Jх=311,61 см4,

Jу=100,47 см4, Jху =102,0 см4, x0=1,92 см, y0=4,14 см.

[ № 30

h=30 см, b=10 см, А=40,5 см2, Jх=5810 см4, Jу=327 см4, z0=2,52 см.

Y1	YС
	V
I
b
	a1
	a

Y2
1
U	ХС
	Х2
II
Рис. 3.6

1. Выбираем вспомогательные оси, совпадающие с центральными осями (х2-у2) швеллера, определяем центр тяжести фигуры аналогично предыдущему примеру.

	2
		å(Sy2		)i				A1 ×a	= 19,7(-4,44) = -1,45 cм ;
x	=	i=1			=

C			SAi				A1 + A2		19,7 + 40,5

	a = X 0 + Z0 = 1,92 + 2,52 = 4,44 cм ;
	2
			å(Sx2 )i					A1 ×b	= 19,7(8,36) = 2,74 cм ;
y	=		i=1			=

C			SAi					A1 + A2	60, 2

b = B − y0 = 12,5 − 4,14 = 8,36 cм .

2. Определяем моменты инерции относительно центральных

осей.

J = å(J ) = J + A ×b2 + J + A ×b2 =

CXC i X1 1 1 X2 2 2

i=1

=311,61 +19,7 × 5,622 + 5810 + 40,5 × 2,742 = 7047,9 cм4 ;

b = b − y	C	= 8,36 − 2,74 = 5,62 cм ; b2 = yC = 2,74 cм .
1	C

JyC = å(J C i = J y1 + A1 ×a12 + Jy2 + A2 ×a22 =

i=1

=100,47 + 19,7 × 2,992 + 327 + 40,5 ×1,452 = 688,74 cм4 ;y )2

a1 = a − xC = 4,44 − 1,45 = 2,99 cм ,

a2 = xC = 1,45 cм .

)

= J

+ Ab (-a ) + J

+ A (-b )a

xC yC

x1 y1

1 1 1

x2 y2

2 2

i=1

= -102 -19,7 × 5,62 × 2,99 - 40,5 × 2,74 ×1,45 = -593,94 cм 4 ;

Jx2 y2

= 0.

3. Определяем направление главных центральных осей и

величину главных центральных моментов инерции.

tg2α0

= -

2Jx

= -

2 ×(-593,94)

= 0,1868;

Jx - J y

7047,9 -

688,7

α0 = 5o18¢ .

Ось х необходимо повернуть против часовой стрелки на угол a0 до совмещения с главной осью U.

JU = Jmax =

Jx + J yC

(JxC

- J yC )2 + 4Jx2C yC

7047,9 + 688,7

(7047,9 - 688,7)2 + 4 × 593,92

= 7103 cм4

7047,9 + 688,7

;

= 633,7 cм4 ;

JV = J min =

(7047,9 - 688,7)2 + 4 × 593,92

JxC

+ J yC

= JU + JV ;

7047,9 + 688,74 = 7103 + 633,7 =7737.

Определяем главные радиусы инерции:

=10,86 cм ;

= 3,24 cм .

7103

i =

633,7

60, 2

60,2

Пример 3.

Для сечения, показанного на рис.3.7, определить геометрические характеристики относительно главных центральных осей.

Исходные данные: a = 25мм .

				Y1,Y2 ,Y	R = 25см
Y	=	4R	=10.6см
Y	=		=10.6см
c1		3π		I	X1
		3π		I

5см

а1б = 35.6см	см
	=18.5		III
			III
		c
	Y
см			b3
50

			5см

	Y3		a1 = a1б -Yc
			a1 = a1б -Yc
				X
				X
II	III	a2	= a3 = Yc
II	III		X 2 , X 3 , X б
			X 2 , X 3 , X б
10см				Ymax
				Ymax
	X max
	X max

50см

Рис.3.7

Решение.

Изображаем в масштабе сечение с указанием численных значений его размеров (рис.3.7).

Разбиваем сечение на следующие фигуры: 1-полуокружность

радиусом R = 10a = 25см и	площадью A1 =	πR2	=	3.14 × 252	= 981.25см2	, 2-квад-
		2		2
рат, размеры которого	h2 = 20a = 50см ,	b2 = 20a = 50см , а				площадь

A2 = 2500см2 , 3-два прямоугольника, каждый из которых имеет размеры h3 = 40см, b3 = 20см , а их площадь A3 = 40´ 20´ 2 =1600см2 .

Площадь всего сечения A = A1 + A2 - A3 = 981.25 + 2500 -1600 =1881.25см2 .

Показываем положение центральных осей каждой фигуры (рис.3.7). Определяем положение центра тяжести сечения.

Ось симметрии Y является главной центральной осью и центр тяжести расположен на этой оси. Принимая в качестве базовой оси Xб ось,

совпадающую с центральными осями второй и третьей фигур (рис.3.7), вычисляем Yc -координату центра тяжести сечения по отношению к оси

Xб :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2018198.66 Кб24Содержание2.doc
#
29.03.2015326.08 Кб5Соловьев.rtf
#
29.03.2015570.17 Кб45Сологаев.pdf
#
29.03.20151.35 Mб96Сопромат.pdf
#
29.03.20151.2 Mб38сопромат2.pdf
#
29.03.20157.24 Mб90сопроматчасть1.pdf
#
29.03.2015104.61 Кб86Сортовой прокат металла.docx
#
16.12.2018372.22 Кб4сотовые.doc
#
26.04.201970.14 Кб2Соц. экзамен.doc
#
29.03.2015790.51 Кб237Социальное прогнозирование и проектирование.pdf
#
13.03.201643.42 Кб14Социология и политология.docx