Правила построения графиков

Результаты измерений и вычислений во многих случаях удобно представлять в графическом виде. Графики строятся на миллиметровой бумаге карандашом. Размер графика - не менее половины страницы лабораторного журнала. На лист наносят координатные оси. Независимая величина (аргумент) откладывается, как правило, по горизонтали. На концах осей указывают обозначения физических величин и их размерности. Затем на оси наносят масштабные деления с удобным для прочтения интервалом. Порядок масштаба (10^±п) выносится на конец оси. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по одной или обеим осям.

Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы а) линия графика заняла все поле графика (рис. 1); б) наклон линии был близок к 45°. После выбора начала отсчета и масштаба по осям на лист наносятся экспериментальные точки. Их обозначают маленькими кружками, крестиками, треугольниками и т. п., размеры которых могут соответствовать погрешности измерений в масштабе графика. После этого строится собственно график, т. е. проводится плавная кривая так, чтобы она проходила как можно ближе к нанесенным точкам. График сопровождается подписью и вклеивается в лабораторный журнал. На рис.1 в качестве примера показан график зависимости степени поляризации света Р от числа стеклянных пластинок N.

Рис. 1. График зависимости степени поляризации

света от числа стеклянных пластинок

Если известно из теории, что экспериментальная зависимость должна быть линейная, то по экспериментальным точкам проводится прямая, параметры которой определяются по методу наименьших квадратов (приложение I в конце сборника).

Виды измерений

Измерение физической величины заключается в сравнении ее с однородной ей физической величиной, принятой за эталон.

Различают прямые и косвенные измерения.

При прямом измерении значение измеряемой величины определяют непосредственно с помощью измерительного прибора.

При косвенном измерении значение величины находят на основе данных прямых измерений и подсчета по соответствующей формуле.

Введение в обработку результатов измерений

– Мы, кажется, вступили в область догадок, –

заметил доктор Мортимер.

– Скажите лучше – в область, где взвешиваются

все возможности с тем, чтобы выбрать из них наиболее правдоподобную.

А. Конан-Дойль «Собака Баскервилей»

Если подбросить монетку, то она может упасть либо гербом, либо противоположной стороной. Причем выпадение герба или «решки» будет в среднем происходить почти одинаково часто. Говорят, что и то, и другое – события случайные. Такие события принято характеризовать положительным числом – вероятностью события. В приведенном примере события происходят с одинаковой вероятностью, равной 0,5.

Допустим, что кто-то имеет билет лотереи, в которой на каждые 10 билетов приходится один выигрыш. Можно показать, что в этом случае, при достаточно большом числе билетов в лотерее, вероятность выигрыша для каждого билета составляет 0,1, а вероятность того, что он не выиграет – 0,9.

Теория вероятностей дает возможность подсчитать вероятность различных событий. Возникает вопрос, какой должна быть вероятность события, чтобы его наступление можно было считать возможным в реальных условиях? Ответ на этот вопрос носит в значительной мере субъективный характер и зависит от степени важности ожидаемого события.

Известно, что около 5% назначенных концертов отменяется; несмотря на это, мы все же, взяв билет, обычно идем на концерт, будучи, в общем, уверены, что он состоится, хотя вероятность этого всего 0,95. Однако, если бы в 5% полетов терпели аварию пассажирские самолеты, вряд ли мы стали бы пользоваться воздушным транспортом.

Можно указать события, вероятность которых столь мала, что они вообще в мире не происходят и, видимо, не произойдут. Так, вероятность того, что обезьяна, ударяя пальцами по клавишам пишущей машинки, напечатает осмысленное литературное произведение, как показали расчеты, составляет примерно 10^-2600 . Таким же маловероятным (практически невозможным) является так называемое «чудо Джинса» – замерзание воды в чайнике на горячей плите, которое вовсе не противоречит кинетической теории.

Английский математик У. Скарборо предложил модель «случайностей» для экспериментального исследования случайных событий. Лист бумаги нужно разграфить на полосы шириной 1 см, среднюю линию считать «прицельной». Затем взять карандаш двумя пальцами за неотточенный конец и, прицеливаясь в среднюю линию, отпустить (уронить) карандаш с высоты 1м. Карандаш, ударившись о бумагу, оставит след – точку.

Повторяя падение карандаша 25 – 50 раз, получим множество точек, попавших на различные полосы. Построим график разброса точек относительно прицельной линии. Для этого на вертикальной оси отложим число точек, приходящихся на каждую полоску, а по горизонтальной оси – номера полосок (рис.2, а)

Рис.2. Модель «случайностей». Гистограммы распределения точек по

полосам: а – количество падений n = 25 раз,

б – количество падений n = 100 раз

Получившаяся столбчатая диаграмма носит название гистограммы (histos – столб) распределения (в нашем случае – распределения точек между полосами). На вертикальной оси можно также отложить значения частоты () попадания точек на ту или иную полосу.

,

где – число точек, попавших наi-ю полосу;

n – общее число падений карандаша на лист бумаги.

Считается, что при достаточном увеличении числа испытаний (бросаний) величины частот становятся устойчивыми и перестают зависеть от общего числа испытаний. Предельные значения этих частот при увеличении числа испытаний до бесконечности называются вероятностями –. Обратите внимание на то, что сумма вероятностей по всем полоскам.

Если ширину полоски уменьшить, а число падений увеличить, то гистограмма будет несколько иной (рис.2,б). Если продолжить увеличивать число бросков , а ширину полоски уменьшать, то гистограмма перейдет в пределе в непрерывную плавную кривую, изображенную на рис.2,б пунктиром. Эта кривая нормального распределения значений случайной величины. – кривая Гаусса. Функция, графически представленная этой кривой, определяет закон распределения значений случайной величины и называется плотностью вероятности.

На практике часто принимают, что случайные погрешности измерения физических величин подчиняются нормальному закону распределения.