4.2. Пространство функций суммируемых с квадратом.

Пусть - измеримое, ограниченное множество.

Определение 4.2.1.Измеримая функцияназываетсясуммируемой с квадратом, если интеграл Лебега от квадрата функции конечен, т.е.

.

Символом обозначим множество всех функций суммируемых с квадратом.

Справедлива

Теорема 3.2.1.Всякая суммируемая с квадратом функция суммируема, т.е..

Доказательство.Из неравенствиследует, что

и.

Поэтому . Интегрируя полученное неравенство, получаем

.

Теорема доказана.

Справедлива

Теорема 4.2.2.Произведение двух суммируемых с квадратом функций есть суммируемая функция, т.е. если, то.

Доказательство. Для произвольныхнеравенствосправедливо почти всюду. Интегрируя левую и правую часть неравенства, получаем

.

Теорема доказана.

Используя утверждение теоремы 4.2.2, покажем, что любая линейная комбинация функций суммируемых с квадратом является функцией принадлежащей тому же множеству .

Теорема 4.2.3. Если, то функциии, где- произвольный скалярный множитель.

Доказательство.В силу свойства однородности операции интегрирования по Лебегу, вместе с любой функциейв это множество попадают все функции вида.

Покажем, что сумма функций суммируема с квадратом.

Теорема доказана.

Сформулируем и докажем интегральное неравенство Коши-Буняковского (Шварца).

Теорема 3.2.4.Если, то

.

Доказательство.Для произвольногои произвольно фиксированныхрассмотрим интеграл

.

Так как квадратный трехчлен относительно в правой части неравенства является знакопостоянным, то можно сделать вывод, что дискриминант квадратного трехчлена не превосходит нуля, т.е.

.

Иными словами, .

Извлекая корень из обеих частей неравенства, и учитывая, что модуль любого действительного числа не превосходит самого числа, получаем требуемое неравенство.

Теорема доказана.

Аналогично множеству вместо множествабудем рассматривать пространство классов эквивалентных функций, которое становится нормированным пространством, при определении нормы равенством

. (.2.2)

Справедливость аксиом положительной определенности и однородности очевидна. Для доказательства неравенства треугольника используем неравенство Коши-Буняковского.

Справедлива

Теорема 4.2.5.Пространствоявляется банаховым.

Кроме того, на пространстве можно определить скалярное произведение функций

(4.2.3)

При этом скалярное произведение (3.2.3) согласовано с нормой (4.2.2) пространства . Иными словами, пространствоявляется гильбертовым.

4.3. Пространство функций, суммируемых со степенью p.

Пусть - ограниченное, измеримое множество и- измеримая функция.

Определение 4.3.1.Функцияназываетсясуммируемой со степенью , если.

Определение 4.3.2. Числаназываютсясопряженными показателями,еслии.

Символом обозначим множество всех функций суммируемых со степенью. Приведем без доказательства неравенства Гельдера и Минковского.

Терема 4.3.1. (Неравенство Гельдера).

Пусть - сопряженные показатели и,, тогда произведение функцийявляется суммируемой функцией, при этом справедливо неравенство

. (4.3.1)

Отметим, что неравенство Гельдера является обобщением неравенства Коши-Буняковского. Действительно, при значениях сопряженных показателей неравенство Гельдера совпадает с неравенством Коши-Буняковского.

Теорема 4.3.2.(неравенство Минковского).

Если и, то сумма функций, причем справедливо неравенство

(4.3.2)

Очевидно, что вместе с любой функцией множествосодержит все функции вида, где- произвольный скалярный множитель. Теорема 4.3.2 утверждает, что сумма любых двух функций суммируемых со степеньюпо Лебегу является также элементом множества.

Таким образом, множество замкнуто относительно операций умножения на скалярный множитель и сложения элементов.

Вместо множества будем рассматривать множество классов эквивалентных функций, которое является линейным пространством. Пространствостановится нормированным, если норму элемента определить равенством

.

На вопрос: Как соотносятся пространства и, еслидает ответ следующая

Теорема 3.3.3.Пусть. Тогда.

Доказательство. Произвольно выберем элементи покажем, что. С этой целью используем неравенство Гельдера

,

здесь - показатель сопряженный показателю, т.е..

Теорема доказана.

Таким образом, Лебеговы пространства определены для любого показателя, при этом чем больше показатель, тем более «узким» становится пространство, т.е.

.