3.2. Основные свойства интеграла Лебега.

Теорема 3.2.1.Если- такая измеримая функция, что для всех, то

.

Доказательство. Оценим сверху и снизу произвольную нижнюю интегральную сумму Лебега. Переходя к пределу приполучаем требуемое неравенство.

Следствие 3.2.1.Если- постоянна на измеримом множестве, то, где.

Следствие 3.2.2. Если функцияизмерима и, то.

Следствие 3.2.3.Если функция определена на множестве нулевой меры, то.

Теорема 3.2.2. (аддитивность относительно области интегрирования).

Если измеримое множество есть объединение конечного или счетного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств и функцияопределена и интегрируема на каждом из них, то она интегрируема на, причем

.

Доказательство.Покажем справедливость теоремы для случая. Построим интегральную сумму Лебега на множестве. Обозначим

,,.

Очевидно, что . Отсюда

.

Переходя к пределу при получаем

.

Используя метод математической индукции, полученный результат легко обобщить на случай конечного числа множеств . Покажем справедливость утверждения теоремы для счетного числа множеств, т.е. для случая, когда. Справедливо равенство. Так как множествоизмеримо, то ряд в правой части последнего равенства сходится, поэтому. Положим. Тогда

.

Для последнего слагаемого применим теорему о среднем

.

Но так как , то. Поэтому

.

Теорема доказана.

Следствие 3.2.4.Если- измеримые ограниченные функции эквивалентные между собой, то.

Доказательство.Множествопредставим в виде объединения. Тогда

.

Так как , то.

.

Следствие доказано.

Следствие 3.2.5. Интеграл от функции эквивалентной нулю равен нулю.

Следствие 3.2.6. Если- измеримая ограниченная неотрицательная функция, такая что, тоэквивалентна нулевой функции.

Теорема 3.2.3.Интегрирование по Лебегу является линейной операцией, т.е. если- интегрируемые по Лебегу функции и- произвольные скаляры, то функцияинтегрируема по Лебегу, причем

.

Справедливость утверждения теоремы обусловлена тем фактом, что операции суммирования и предельного перехода являются линейными.

Теорема 3.2.4. Еслиинтегрируема по Лебегу на множестве, то

.

Доказательство.Положим,. Тогда

.

С другой стороны .

В силу неравенства при, имеем.

Теорема доказана.

Теорема 3.2.5. (о предельном переходе под знаком интеграла). Пусть- последовательность, интегрируемых по Лебегу на множестве, функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции. Если существует такая постоянная, что для любогои произвольногосправедливо неравенство, то.

Теорема 3.2.6.(сравнение интеграла Римана и интеграла Лебега). Всякая функция, интегрируемая по Риману, является интегрируемой по Лебегу.

Пример функции Дирихле показывает, что обратное утверждение не верно.

3.3. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции.

В этом пункте мы обобщим понятие интеграла Лебега, отказавшись от предположения ограниченности функции. С этой целью для измеримой, неотрицательной, не обязательно ограниченной функции определим вспомогательную функциюравенством

(3.3.1)

Можно показать, что при каждом фиксированном функцияизмерима, ограничена и неотрицательна.

Определение 3.3.1.Функция, определенная равенством (3.3.1) называется-срезкой (срезывающей функцией)функции.

Для любого натурального , функцияинтегрируема по Лебегу, при этом в силу очевидного неравенства, справедливого при всех, можно утверждать, что числовая последовательностьявляется неубывающей и потому она имеет либо конечный либо бесконечный предел.

Определение 3.3.2.Интегралом Лебегаот неограниченной функции называется предел последовательности интегралов Лебега от срезывающих функций, т.е.

. (3.3.2)

Определение 3.3.3. Измеримая, неотрицательная функцияназываетсясуммируемойна множестве, если интеграл Лебега, определенный равенством (3.3.2), конечен.

Очевидно, что любая ограниченная неотрицательная функция суммируема и определение интеграла Лебега 3.3.3 совпадает с определением 3.1.1.

Можно показать, что все свойства интеграла Лебега, доказанные в предыдущем пункте остаются в силе и для неограниченных функций.