2.3. Двухмерный симплекс-элемент

Двухмерный симплекс-элемент показан на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Двухмерный симплекс-элемент

В методе конечных элементов принята нумерация узлов против часовой стрелки, начиная от некоторого -го узла, который выбирается произвольно. Узловые значения скалярной величиныобозначаются через,и, а координатные пары трех узлов – через,,.

Интерполяционный полином имеет вид

; (2.16)

Послед подстановки узловых значений функции и соответствующих координат узлов получаем систему трёх уравнений

, (2.17)

решая которую получаем

, (2.18)

, (2.19)

. (2.20)

Определитель системы связан с площадью треугольника соотношением

. (2.21)

Выражения (2.18)–(2.20) можно записать в виде

, ,

Подставляя значения ,ив формулу (2.16), можно преобразовать выражение дляк виду, подобному (2.14). Это соотношение определяющее элемент, содержит три функции формы по одной для каждого узла:

, (2.22)

где ;; или;

; ; или;

; ; или.

Значение функции формы в-м узле равно 1, а в узлахиравно нулю. Аналогично функциииравны 1 соответственно в узлахи.

Скалярная величина определяется внутри элемента функциями формы, линейными пои. Это означает, что градиенты этой величины в направленияхибудут постоянны. Градиенты в направленииопределяется соотношение

, (2.23)

Поскольку

,.

Поэтому

. (2.24)

Так как ,,постоянны (они фиксированы как только заданы узловые координаты) и,,не зависят от координат пространства, частная производная в (2.24) имеет постоянное значение. Постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо использовать очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию.

2.4. Локальная система координат одномерного симплекс-элемента

Когда используется произвольная глобальная система координат, значения узловых координат ограничены только границами области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремальные значения этих координат принимали значения –1, 0 или 1. Этого можно достигнуть выбором локальной (местной) системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой локальных (естественных) координат.

Преимущество естественных координат состоит в том, что интегрирование по элементу для метода конечных элементов часто может быть проведено в стандартном аналитическом виде.

Рассмотрим одномерный элемент с узламии(см. рис. 2.8). Координатами узловив глобальной системе координат являютсяи, соответственно.

Введем локальную систему координат, поместив начало системы в -м узле элемента (см. рис. 2.8)

. (2.25)

Рис. 2.8. Локальная система координат для одномерного элемента

Для узла локальная система координат запишется

. (2.26)

Из выражений (2.25), (2.26) видно, что при –,, а при–,.

Независимой является только одно из координат и, что следует из соотношения.

Можно отметить также, что и. Таким образом

. (2.27)

Как будет показано ниже, обычно элементные вклады могут быть выражены в -координатах как произведение узловых значений и интегралов типа, гдеицелочисленные показатели степени. Интегрирование можно провести аналитически согласно формуле

, (2.28)

где – длина конечного элемента.

2.5. Локальная система координат для двухмерного симплекс-элемента

Координата площади в двухмерном случае аналогична координате длины в одномерном случае. Для произвольно выбранной точки в трехузловом элементе площадь треугольника(см. рис. 2.9) определяется по формуле, а площадь всего треугольника– по формуле. Тогда отношение площадей

. (2.29)

Рис. 2.9. Три площади, связанные с произвольной точкой треугольника, и локальные координаты

Ясно, что величина изменяется в пределах от нуля до единицы. Координатыиопределяются аналогично

,, (2.30)

и изменяются в тех же пределах, что и .

Так как ,

. (2.31)

Координаты ,,называются-координатами.

Изучение свойств ,,с учетом соотношения (2.31) обнаруживают некоторые интересные сведения. Координатные переменные,,представляют собой функции формы для треугольного симплекс-элемента

,,. (2.32)

Как видно из рис. 2.9

Подобные соотношения выполняются также для и. Кроме того, формула (2.31) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны единице.

Если записать следующие зависимости

(2.33)

и разрешить их относительно ,,, то в результате получим соотношения, идентичные (2.22).

Формула интегрирования для треугольного симплекс-элемента с использованием -координат имеет вид

, (2.34)

Использование соотношения (2.34) может быть проиллюстрировано при вычислении интеграла вида

Этот интеграл по площади элемента преобразуется следующим образом