2. Дискретизация области

На первом этапе конечноэлементной процедуры производится разбиение расчетной области на конечные элементы. Этот этап не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся навыков. Плохое или несовершенное разбиение может приводить к ошибочным результатам.

Дискретизация области включает: выбор формы элементов; задание их размеров и их количество; нумерацию элементов и узлов.

2.1. Типы конечных элементов

Размерность элемента определяется размерностью аппроксимируемой их совокупностью области определения задачи. Для соответствия элемента физической модели исследуемого объекта одномерный элемент может иметь поперечное сечение, площадь которого необязательно постоянна по длине элемента, а двухмерный элемент единичную толщину.

Простейший конечный элемент имеет число узлов больше на единицу мерности элемента и называется симплекс-элемент. Конечный элемент, имеющий большее число узлов, называется комплекс-элементом.

На рис. 2.1 приведены симплекс-элементы различной размерности.

Рис. 2.1. Симплекс-элементы: а– одномерный;б– двухмерный (треугольник);в– трехмерный (тетраэдр)

Симплекс-элементам соответствую полиномы, содержащие константу и линейные члены:

одномерный (см. рис. 2.1,а)

; (2.1)

двухмерный (см. рис. 2.1,б)

; (2.2)

трехмерный (см. рис. 2.1,в)

. (2.3)

Нелинейные элементы высокого порядка, или комплекс-элементы должны иметь число узлов, равное числу коэффициентов в аппроксимирующем полиноме этого конечного элемента. Например, одномерный квадратичный элемент должен содержать три узла (см. рис. 2.2), т.к. его полином содержит три неизвестных коэффициента

, (2.4)

а кубический – четыре узла

. (2.5)

Рис. 2.2. Одномерные нелинейные элементы высокого порядка а– квадратичный;б– кубический

Квадратичный треугольный элемент содержит шесть узлов (см. рис. 2.3), а полином – шесть коэффициентов

; (2.6)

Рис. 2.3. Квадратичный треугольный элемент

Нелинейный двухмерный элемент с наименьшим числом узлов – это четырехугольник (см. рис. 2.4)

; (2.7)

Рис. 2.4. Нелинейный четырехугольный элемент

2.2. Одномерный симплекс-элемент

Одномерный симплекс-элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины с двумя узлами, по одному, по одному на каждой стороне отрезка (см. рис. 2.5). Узлы обозначаются индексамии, узловые значения – через исоответственно.

Рис. 2.5. Одномерный симплекс-элемент

Начало системы координат расположено вне элемента. Полиномиальная функция для скалярной величины имеет вид

. (2.8)

Здесь .

Коэффициенты полинома иопределяются через значения функции в узлах. В результате имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными

, (2.9)

решение которой дает

,. (2.10)

Подставляя найденные значения ив формулу (2.8) получим

, (2.11)

которое может быть переписано в виде

. (2.12)

Линейные функции от в формуле (2.12) называются функциями формы или интерполяционными функциями и обозначаются буквой

и. (2.13)

Как видно из формулы (2.13), функция равна единице в узле с номероми равна нулю в узле(см. рис. 2.6). Аналогично функцияравна нулю в-м узле и равна единице в узле с номером(см. рис. 2.6). Эти значения характерны для функций формы. Они равны единице в одном определенном узле и обращаются в нуль во всех других узлах.

Рис. 2.6. Функции формы одномерного симплекс-элемента

Соотношение (2.12) может быть записано

, (2.14)

или в матричном виде

, (2.15)

где – матрица-строка функций формы конечного элемента (матрица функций формы);– вектор-столбец узловых значений функции.

Выражение (2.15) является основополагающим и применимо к любым конечным элементам. Число элементов матриц иравно числу узлов конечного элемента. Для любой разновидности конечного элемента функция формы любого узла это функция заданная и непрерывная на конечном элементе и равная единице в этом узле и нулю во всех остальных узлах.