Исследование функций ПНИПУ
.doc
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Исследование функций и построение графиков
Индивидуальные задания
-
Пособие разработано ст. преп. Роговой Н. В.
Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
План исследования функции
-
Найти область определения функции.
Определение. Областью определения функции называется совокупность всех значений независимой переменной , для которых функция определена.
-
Определить является функция четной, нечетной или общего вида.
Определение. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняется условие и , называется нечетной, если выполняется условие и .
График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной – относительно начала координат.
Если функция является четной или нечетной, то исследование можно провести только для и при построении графика воспользоваться его симметричностью.
-
Определить является ли функция периодической.
Определение. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что для и . При этом число называется периодом функции.
Наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству , является основным периодом функции.
Если функция периодическая, то исследование проводится на любом интервале, длина которого совпадает с основным периодом функции.
-
Определить координаты точек пересечения графика с осями координат, определить интервалы знакопостоянства функции.
-
Найти наклонные (в т.ч. горизонтальные) асимптоты и вертикальные асимптоты графика функции.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или , где - точка разрыва или граничная точка области определения функций.
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если существует предел .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы и .
При нахождении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.
-
Найти точки экстремума и интервалы возрастания (убывания) функции.
Определение. Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной .
Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на .
Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , ().
Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточные условия экстремума
I Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой - окрестности точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума.
II Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля , то в точке функция имеет экстремум. Если - максимум, если - минимум.
-
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.
Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.
Теорема. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную , то график функции в этом интервале выпуклый. Если же - график вогнутый.
Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.
Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.
Результаты проведенного исследования функции рекомендуется свести в таблицу, в первой строке которой указываются все значения , выделенные в результате исследования, как самой функции , так и ее производных и , а также интервалы, на которые данными точками разбивается область определения. Во второй строке указываются значения функции на каждом из выделенных интервалов. В третьей строке выделяются критические точки функции и указывается знак первой производной на каждом интервале. В четвертой строке – знак второй производной на каждом интервале. В последней строке по знакам определяется характер монотонности функции, по знакам выпуклость (вогнутость) графика функции, а также определяется характер выделенных точек (точки максимума, точки минимума, точки перегиба).
Построение графика функции рекомендуется начать с обозначения на координатной плоскости точек, выделенных в таблице и построения асимптот (если они есть). Для более точного построения можно вычислить значения функции в дополнительных точках.
Приведем примеры полного исследования функции:
Пример 1:
-
Область определения:
2.
функция нечетная.
-
Функция не является периодической.
-нули функции.
-
Функция непрерывна на всей области определения, поэтому вертикальных асимптот нет.
Прямая является наклонной асимптотой графика функции.
-
Найдем первую производную:
при ,
не существуют при , ,
Используя достаточные условия экстремума, получаем, что - точка минимума, -точка максимума.
-
Найдем вторую производную:
не существует при
В точках , , - перегиб графика.
Составим таблицу:
-
-1
(-1;0)
-
0
+
+
+
+
-
+
-
-
перегиб
max
Продолжение таблицы
-
0
(0;1)
1
0
-
-
-
0
+
-
+
+
+
+
-
min
перегиб
Строим график функции (рис.1).
Рис.1
Пример 2:
-
Область определения:
2.
функция четная. Дальнейшее исследование проведем для .
3. Функция не является периодической.
4. при
5. Поскольку и - точки разрыва
и ,
, ,
то и - вертикальные асимптоты.
- горизонтальная асимптота.
6. Найдем первую производную:
при
не существует при .
- точка максимума.
7. Найдем вторую производную:
при
не существует при
Т.к. при функция не определена, то точек перегиба нет.
Составим таблицу:
-
0
(0;2)
2
0
-
Не существует
+
-
-
-
+
max
Вертикальная асимптота
Строим график функции для , затем на интервале строим линию, симметричную относительно оси (рис.2).
Рис.2
Пример 3:
-
Область определения:
Функция определена для всех , для которых ,
т.е. .
-
Функция не является ни четной, ни нечетной.
-
при
- основной период, основной промежуток .
4. при .
Промежутку принадлежат точки .
5. В промежутке одна точка разрыва , в остальных точках функция непрерывна.
, .
Прямая - вертикальная асимптота.
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
6. Найдем первую производную:
при ,
не существует при .
Cледовательно, точек экстремума нет.
7. Найдем вторую производную:
, если ,
т.е.
Из этого множества промежутку принадлежит точка .
не существует при .