Факультатив

течение последующих N лет получать постоянный ежегодный доход R. Процентная годовая ставка проекта составляет P процентов.

Получаемые доходы образуют поток платежей, который является годовой рентой с платежом R и длительностью N лет. Современная величина этой ренты (см. (2.11)) R(0) = Rρ(N, P), где ρ(N, P) – коэффициент приведения ренты. Следовательно, приведенный (4.6) и на-

которое легко может быть решено на компьютере.

то при Inv ≥ RN рассматриваемое уравнение не имеет решения. Поэтому, если Inv < RN , то решение (4.16) существует и его можно най-

ти (см. §4.1).

Пример 4.2. Планируется инвестировать производство, вложив Inv = 50000, и в течение последующих 20 лет получать ежегодный доход 8 000. Банковская процентная ставка составляет 10% годовых. Вычислим основные параметры инвестиционного проекта. Доходы образуют годовую ренту и платежом R = 8000. Коэффициент приведения ренты ρ(20,10) = 8,5136. Современная величина потока доходов

−50000 + 8000 1− (1+ im )−20 im = 0, она равна Im = 15,03%.♥

4.3. Бесконечный инвестиционный проект с постоянным ежегодным доходом

Рассмотрим инвестиционный проект, в рамках которого планируется в начале вложить сумму Inv, а затем получать ежегодный доход R в течение неограниченного количества лет. При этом предполагается, что ставка по рассматриваемому проекту составляет P процентов в год.

Вычислим основные параметры такого проекта. Поток ежегодных доходов образует вечную ренту, современная величина которой

Наращенный чистый доход, рассчитанный на пройзвольный конечный период длины τN, вычисляется по формуле (4.7), и понятно, что в пределе τ N → ∞ наращенный чистый доход стремится к бесконечности.

Пример.

4.4. Длительность инвестиционного проекта равна сроку его окупаемости

Рассмотрим инвестиционный проект, протяженность N которого совпадает со сроком его окупаемости KInv, а ежегодный доход R планируется постоянным при ставке по проекту P годовых процентов. Каков должен быть объем инвестиций Inv, обеспечивающий такие условия?

Поток доходов образует конечную годовую ренту (см. §2.2). Из определения срока окупаемости KInv (см. (4.16) или (4.17)) следует, что инвестиции в начальный момент определяются соотношением

Так как срок окупаемости совпадает с длительностью инвестиционного проекта, то современный (4.13) и наращенный (4.14) чистые доходы такого проекта равны нулю, и внутренняя доходность Im (см. (4.18)), − Inv + Rρ(N, Im ) = 0, совпадают с его годовой ставкой P,

NPV = − Inv + Rρ(N, P) = 0, NFV = NPV (1+ p)N = 0, Im = P.

Пример.

4.5. Расчет годовых выплат при заданной внутренней доходности инвестиционнного проекта

При заданных объеме инвестиций Inv и длительности инвестиционного проекта N необходимо обеспечить внутреннюю доходность Im превышающую процентную ставку P проекта. Каковы для этого должны быть минимальные ежегодный выплаты по проекту R?

Согласно определению внутренней доходности, минимальные

Таким образом, минимальный доход R вычисляется по формуле

Пример.

4.6. Зависимость характеристик инвестиционного процесса от его процентной ставки

Допустим, инвестиционный процесс описывается параметрами Inv, R и N. Исследуем зависимость основных характеристик рассматриваемого проекта от его процентной ставки P.

Выплаты дохода по инвестиционному проекту образуют годовую ренту. Коэффициент приведения этой годовой ренты в соответ-

ствии с (2.9) равен ρ(N , P) = e1− 1(1+ p)N jp. Он уменьшается при

увеличении процентной ставки проекта P. Это значит, что приведенный чистый доход (см. (4.13)), NPV = − Inv + Rρ(N, P), и доходность инвестиционного проекта (см. (4.15)), inc= −1+ ( R Inv)ρ(N, P), уменьшаются при увеличении процентной ставки P, а срок его оку-

паемости (см. (4.16)) KInv = kmin K: Rρ(K, P) ≥ Invp увеличивается. Поэтому возможна ситуация, когда инвестиционный проект окупает-

ся при меньшей процентной ставке P и не окупается при большей ставке.

Внутренняя доходность проекта Im (см. (4.18)) не зависит от процентной ставки P.

Пример.

4.7. Сравнение инвестиционных проектов

Часто возникает необходимость в сравнительном анализе инвестиционных проектов. При сравнении проектов надо помнить, что их основными характеристики являются приведенный чистый доход NPV и срок окупаемости Kinv, которые зависят от принятой в проекте годовой процентной ставки P, и внутренняя доходность Im.

В некоторых случаях сравниваются инвестиционные проекты, характеризующихся различными затратами и одинаковыми результатами. В таком случае целесообразно анализировать объемы затрат рассматриваемых проектов. В общем случае поток затрат определяется начальными инвестциями (капитальными затратами) Inv и текущими затратами Ck, которые могут меняться с течением времени. Такой поток затрат можно считать бесконечным, его современная величина определяется формулой (2.2),

k=1

где p = P100 и (1+ p)− k – дисконтирующий множитель по ставке P. Понятно, что среди анализируемых инвестиционных проектов более предпочтительным считается тот проект, современная величи-

на которого минимальна.

Для упрощения расчетов будем считать текущие затраты посто-

Следовательно, при сравнении инвестиционных проектов лучшим является проект, которому соответствует меньшее значение ве-

личины Inv(i) +C(i) p(i) , где i – номер проекта. Если процентная ставка P(i) в проектах одинакова, то также справедливо эквивалентное утверждение, что более оптимальным является проект с меньшим значением величины C(i) + p Inv(i). Последняя называется показате-

лем приведенных затрат.

Пример.

5. АРЕНДА ОБОРУДОВАНИЯ КАК ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС

Аренду оборудования можно рассматривать как некоторый инвестиционный процесс, в рамках которого необходимо понять, что более предпочтительно: арендатору купить оборудование или его арендовать; владелецу сдать оборудование или его продать. Для ре-

шения этих проблем необходимо определить размер арендных платежей и уровень доходности при аренде оборудования.

5.1. Платежи при аренде оборудования

Оборудование, общей стоимостью Q, сдается в аренду на N лет и к концу этого срока его остаточная стоимость будет равна G. Таким образом владелец оборудования за N лет “теряет” сумму

Q − G(1+ p)− N , где (1+ p)− N – коэффициент дисконтирования (см. (1.7)) величины G к моменту начала аренды. Владельцу оборудования “потерянную” сумму должен компенсировать арендатор.

Современная величина потока арендных платежей

Величину p можно трактовать как доходность, обусловленную сдачей оборудования в аренду.