Факультатив

Пример 2.1. Рассмотрим поток платежей R={(-3000,1); (2000,2); (4000,3)} при процентной ставке P = 13%. Современная величина по-

тока: R(0) = − 3000(1+ 0,13)−1+ 2000(1+ 013.)−2+ 4000(1+ 013.)−3=1683,63.

Конечная величина потока R(3) = R(0)(1+ 0,13)3 = 2429,30.♥

2.2. Рентой называется поток положительных платежей с постоянным временным шагом. В рамках ренты платежи часто являются также одинаковыми.

Конечной годовой рентой называется рента, характеризуется только одним платежом R в год, длительностью N лет и годовой процентной ставкой P. Обычно на рентные платежи начисляются сложные проценты. Рента называется постнумерандо, если платежи должны поступать в конце каждого промежутка, и называется пренумерандо, если платежи поступают в начале промежутка.

Пример 2.2. Рассмотрим 4-летнюю годовую ренту постнумерандо с платежом R = 2000 единиц и процентной ставкой P = 5%. В конце 1-го года вносится 2000. В конце 2-го года эта сумма увеличится на 260 за счет начисления процентов и на 2000 за счет очередного платежа, т. е. достигнет значения 2000(1+ 0,05) + 2000 = 4100. К концу 3-го года полная сумма возрастет до величины 4260(1+ 0,05) + 2000 = 6305. К концу 4-го года наращенная сумма будет равна 6813,80(1+ 0,05) + 2000 = 8620,25. Современная величина ренты находится в результате дисконтирования всей наращенной суммы к начальному моменту, R(0) = = 8620,25(1+ 0,05)−4 = 70919,.♥

При анализе конечной годовой ренты, характеризуемой параметрами ( R, N, P), обычно вычисляют ее современную величину (см.

(2.2)),

R(0) = R(1+ p)−1 + (1+ p)−2 +Κ +(1+ p)− N .

В скобках стоит сумма членов геометрической прогрессии с началь-

N

Учитывая первую из формул (2.5), получаем современную величину ренты

Учитывая (2.7) видим, что положенная в настоящий момент в банк под P процентов годовых современная величина ренты R(0) к концу N-го года увеличится до наращенной величины ренты R(N ).

Коэффициент

называется коэффициентом приведения годовой ренты, а коэффици-

ент

называется коэффициентом наращения годовой ренты. Используя эти коэффициенты, получаем

Коэффициенты приведения ρ(N, P) и наращения σ(N, P) показывают, во сколько раз современная и наращенная величины ренты больше ее годового платежа.

Формулы (2.6)–(2.13) формально могут использоваться при нецелых значениях N.

Коэффициенты приведения ρ(N, P) и наращения σ(N, P) годовой ренты даны в таблицах 2.1 и 2.2.

Таблица 2.1. Коэффициенты приведения годовой ренты ρ(N, P)

Таблица 2.2. Коэффициенты наращения годовой ренты σ(N, P)

Пример 2.2. Определим современную R(0) и наращенную R(N ) величины годовой ренты c платежом R = 5000 в год, длительностью N = 5 лет и годовой процентной ставкой P = 10%. Находим,

R(0) = 5000ρ(510,) = 50001− (1+ 0,1)−5 0,1 = 18953,9,

R(5) = Rσ(510,) = 5000 (1+ 0,1)5 − 10,1 = 30525,5.♥

При использовании годовой ренты надо иметь в виду, что процентная ставка P, как правило, задается и не может быть изменена, а управляемыми (изменяемыми) параметрами могут быть платеж R ренты и ее длительность N. Однако вместо этих управляемых параметров в некоторых ситуациях удобно использовать современную R(0) и наращенную R(N ) величины ренты. Параметры R, N, P, R(0), R(N ) зависят друг от друга. Если заданы:

N и P, то R(0) и R(N ) вычисляются по (2.6) и (2.8);

P и R(0), то N = − ln(1− R(0) p R)ln(1+ p) следует из (2.6);

P и R(N ), то N = ln(R(N ) p R + 1)ln(1+ p) находится из (2.8);

N , P и R(0), то R = R(0)ρ(N, P) в соответствии с (2.6) или (2.11);

N , P и R(N ), то R = R(N )σ(N, P) согласно (2.8) или (2.12);

R, N и R(0), то желаемое значение P определяется из (2.6) или (2.11). Если N оказывается не целым, то N округляется, исходя из здравого смысла, до соответствующего целого. Так как (см. (2.11)) ρ(N, P) = R(0)R, то приближенное значение N, зная P и R(0), также можно подобрать по таблице коэффициентов приведения годовой

ренты ρ(N, P). Аналогично, так как (см. (2.12)) σ(N, P) = R(N ) R, то по P и R(N ) значение N находится из таблицы коэффициентов наращения годовой ренты σ(N, P). Что касается последнего из перечисленных выше пунктов, то решение уравнения (2.6) или (2.11) относительно желаемого значения P может быть получено численно. При этом заметим, что при малых P справедливо приближение ρ(N, P) N и, если R(0) R ≥ N , то (2.11) не имеет решения, т. е. требуемой ставки P не существует. При R(0) R ≤ N процентную ставку P можно найти, например, решая уравнение (2.11), каким-нибудь итерационным способом.

Пример 2.3. Допустим, что R = 2000, P = 12%. Если современная величина ренты равна R(0) = 6000, то какова должна быть ее дли-

тельность? N = − ln(1− 6000 0,122000)ln(1+ 0,12) = 3,938 4. Другой способ, при ρ(N, P) = 60002000 = 3 и P = 12% из таблицы 2.1 находим, что N = 4.♥

Пример 2.4. Пусть R = 2000, P = 12%. Наращенная величина ренты предполагается равной R(N ) = 20000. Какова должна быть ее длительность? N = ln(20000 0,122000 + 1)ln(1+ 0,12) = 6,957 7. Дру-

гой способ, при σ(N, P) = 200002000 = 10 и P = 12% из таблицы 2.2 находим, что N = 7.

2.3. Рассмотрим конечную общую ренту с начислением процентов и платежами несколько раз за год, характеризующуюся годовым платежом R, годовой процентной ставкой P и длительностью N лет.

Допустим, платежи вносятся m, а проценты начисляются n раз в год через одинаковые интервалы. Тогда разовый платеж равен Rm. Предполагаем, что платежи вносятся и проценты начисляются в конце соответствующих интервалов. Если сделать очередной μ-й платеж, то остается (Nm − μ ) платежей, которые будут происходить в течение последующих (N − μm) лет. За этот оставшийся период будет сделано (N − μm)n начислений процентов по полной ставке pn, и возможно еще одно начисление по неполной ставке (здесь p = P100, и квадратные скобки a означают целую часть числа a).

Величина одного μ-го начисления равна !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Суммируя всех такие начисления, найдем наращенную величину ренты

Полученная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с начальным членом Rm, знаменателем a1+ pnf(nm) и числом членов Nm. Она равна (см. (2.5))

Зная наращенную величину ренты, вычислим ее современную вели-

чину (см. (2.7))

Соотношения (2.16)–(2.17) позволяют получить различные формулы для вычисления наращенной величины частных рент. Допустим, платежи осуществляются несколько раз в год (m > 1), а начисление процентов – один раз в год (n =1). В этом случае наращенная величина ренты равна

где учитывается, что в силу (2.10), σ(1, Pn) = 1.

2.4. “Вечной” годовой рентой называется рента, в рамках которой предполагается, что последовательность платежей не ограничена во времени, т.е. выплачивается бесконечно долго. Хотя наращенная величина R(N ) такой ренты, как следует из (2.8), бесконечна, ее современная величина R(0) определяется бесконечным рядом дисконтированных к современному моменту платежей, который сходится к конечному пределу (см. (2.5)–(2.8)) и, таким образом, имеет смысл,

(2.21)

Пример 2.5. Аренда производственных помещений обходится в 50 000 при годовой процентной ставке 10%. Чему равна выкупная цена аренды? Выкупная цена может быть определена как современная величина всех будущих платежей. В соответствии с (2.21), она равна R(0) = 500000,10 = 500000. Если бы владелец помещений положил в банк 500 000 под 10% годовых по схеме простых процентов, то он получал бы 50 000 в год.♥

2.5. Ренты можно суммировать (объединять) и заменять. Для получения суммарной ренты следует найти современные величины рент-слагаемых Rk (0), сложить их, R(0) = ∑k Rk (0), и, учитывая R(0),

подобрать для объединенной ренты остальные параметры N, P или R(N ) в соответствии с поставленными требованиями.

Для замены одной ренты другой рентой, но с новыми параметрами, необходимо вычислить современную величину R(0) первой ренты и, используя ее в качестве современной величины R′(0) другой (новой) ренты, R(0) = R′(0), подобрать для ее необходимые параметры.

Пример 2.6. Допустим, что рассматриваются три годовые ренты c длительностью Nk в 3, 5 и 9 лет с годовыми платежами Rk в 2000, 1000 и 500 соответственно и с одинаковой годовой процентной ставкой P = 5%. По таблице 2.1 найдем коэффициенты приведения годо-

и R3(0) = 500 7,108 = 3554. Поэтому современная величина объеди-

ненной ренты есть R(0) = R1(0) + R2(0)+ R3(0) = 5446 + 4329 + 3554=13329.

Далее, задавая один параметр, или N, или R(N ), вычислим второй.♥

3.ПРОСТЕЙШИЕ КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ

3.1.Процедуры, связанные с заемом, кредитом или ссудой, являются древнейшими финансовыми операциями. Кредит (creditum) в переводе с латыни означает заем или ссуду. Кредитом называется получение денег или товаров в долг при условии их возврата, причем обычно кредит возвращают с процентами. Выдающий кредит называется кредитором, а получающий кредит – заемщиком.

Допустим, кредит C выдан (или заем C получен) на N лет под P сложных годовых процентов, p = P100. Полученный заем также на-

зывается основным долгом, а проценты πk, начисляемые на остаток основного долга после предыдущего платежа, называются процентными деньгами. Таким образом, платеж rk по займу за k-й год может состоять из двух частей, суммы, идущей на выплату основного долга ck, и процентных денег πk, rk = ck + πk .

3.2. Рассмотрим общую схему погашения займа. Пусть

C = kck , τkp – поток платежей по основному долгу, в рамках которого ck – ежегодные (τk = 1) платежи могут быть различными.

В частном случае N = 2, в конце первого года в счет основного долга будет сделан платеж c1, а также будут начислены проценты π1 = pC за пользование кредитом C в течение этого года. Следовательно, платеж за первый год будет равен r1 = c1 + pC. Кроме этого, если эту сумму, например положить в банк в конце первого года, то кредитор за второй год получит на платеж r1 P процентов годовых, pr1, т. е. полученный платеж r1 нарастет до суммы r1 + pr1. В конце второго года платеж по основному долгу есть c2 = C − c1 и проценты по основному долгу за этот год – π2 = pc2 = p(C − c1), т. е.

r2 = (C − c1) + p(C − c1).

Окончательно, в течение двух лет по рассматриваемому кредиту с учетом всех процентов будет начислено

Последнее слагаемое содержит сумму N + 1-го элемента геометриче-

Следовательно,

что доказывает соотношение (3.3).

Из формулы (3.3) вытекает, что кредитору безразлично какими порциями возвращается основной долг, если кредит выдан под P сложных процентов годовых и возвращаемые суммы сразу же вкладываются в банк также под P сложных процентов годовых.

Общая сумма процентных денег, выплачиваемых заемщиком при возврате кредита, может быть найдена по формуле

3.3. Существуют различные способы возвращения основного долга и процентных денег. Рассмотрим наиболее часто используемые:

•Весь кредит возвращается одним платежом rN в конце периода кредитования. К концу этого периода наращенная сумма займа будет равна C(1+ p)N , или C M(N, P), и она определяет требуемый пла-

теж, rN = C(1+ p)N . Здесь M(N, P) – мулитиплицирующий множи-

тель (см. (1.6)).

•Основной долг выплачивается в конце срока кредитования, а процентные деньги – ежегодно, в конце каждого года с момента выда-

чи займа. Тогда в конце первого года будет выплачена сумма

π1 = pC, то за заемщиком останется только основной долг C. Аналогичная ситуация повторится в конце следующего года, π2 = pC, и т. д. В итоге, в конце последнего N-го года заемщику необходимо выплатить rN = C + π N = C(1+ p). Таким образом, суммарные про-

центные деньги будут равны ∑k πk = NpC.

•Основной долг гасится равными ежегодными платежами cN. В конце каждого кредитного года заемщик вносит его N-ю долю, т. е.