Метод хорд

НА первом этапе уже определен промежуток локализации корня [a,b], такой, что на этом промежутке есть только один корень уравненияY(x)=0.

Шаг 1.Проводим прямую (хорду) между точками с координатами (a,Y(a)) и (b,Y(b)). Выведем уравнение этой прямойg=k∙x+m:

g(b) =k∙b+m(1)

g(a) = k∙a + m (2)

Тогда

(3)

Подставим полученное для kвыражение в (1) и выведем формулу дляm.

Теперь, определив коэффициенты уравнения прямой kmможно вычислить точку пересечения хорды с осью абсциссx₀, в которойg(x₀)=0:

См. рис. 7 и рис. 8.

Рис. 7

Рис. 8

Шаг 2.Затем сравним знаки функцииY(x) в точках а иx₀Y(а) иY(x₀).

Если знаки функции одинаковы Y(а)∙Y(x₀) > 0, то на промежутке от а доx₀корня нет, дальше будем рассматривать промежуток [x₀,b] и следующую хорду нужно провести между точками с координатами (x₀,Y(x₀)) и (b,Y(b)). Точкуапереносим вx₀. См. рис.7.

Если же, как на рис.8, Y(а) иY(x₀) имеют разные знаки, то естьY(а)∙Y(x₀) < 0, то дальше следует рассматривать промежуток [a,x₀]. Следующую хорду надо провести между точками (a,Y(a)) и (x₀,Y(x₀)). Точкуbпереносим вx₀.

Выбор точки а или b, из которой следует строить следующую хорду, можно также осуществить с помощью знака второй производнойY”(x). Если знакY(b) иY’’(b) совпадают (Y(b)∙Y’’(b) > 0, то хорды следует строить из точкиb(рис 8. случайII), в противном случае из точки а (рис.7, случайI).

Эти действия можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. 9

Рис. 9

Шаг 3.Следующее приближение к корнюY(x)x₁вычислим по формуле, аналогичной (5)

и сократим длину промежутка [a,b] как на 2-ом шаге (рис.9).

Шаг 4.Продолжать вычислениеx₂,x₃,….x_i до тех пор, пока не выполнится условие

│x_i–x_i-1│≤(6)

Как только условие (6) выполнится, будем считать, что x_iэто корень функцииY(x), найденный с точностью.

Численный пример.

Рассмотрим функцию x³-5∙x+ 3 = 0. Один из промежутков локализации -[1.5, 2], точность=0.01

Вычисления приведены в таблице 2.

Шаг 1. Вычислим значения Y(a),Y(b), затемx₀по формуле (5) иY(x₀).

Шаг 2. Поскольку Y(a) иY(x₀) имеют одинаковый знак, то согласно блок-схеме на рис. 9,a=x₀,b=b.

Шаг 3. Вычислим значения Y(a),Y(b), затемx₁по формуле (5) иY(x₁). Отметим, что │Y(x₁)│ < │Y(x₀)│.

Шаг 4. Проверим выполнение условия (6) : x₁–x₀=0.0581 >, поэтому продолжаем вычисления дляx₂,x₃.

Разность между x₃иx₂ (│x₃ -x₂│= 0.009) становится меньше заданной точности= 0,01, следовательно корень найден и равен 1.8332.

Таблица 2

i	a	b	xi	Y(a)	Y(b)	Y(xi)	│xi–xi-1│
0	1.5	2	(1*1.5-1.125*2)/(1+1.125) =1.7647	-1.125	1	-0.328
1	1.7647	2	(1*1.7647-0.328*2)/(1+0.328) =1.8228	-0.328	1	-0.0575	0.2647
2	1.8228	2	(1*1.8228-0.0575*2)/(1+0.0575) =1.8324	-0.0575	1	-0.00913	0.058
3	1.8324	2	1.8332	-0.00913	1	-0.00143	0.009

В таблице 3 представлено решение вExcelс точностью 0.0005

В колонке Aуказывается номер итерацииI, в ячейкахAB78иD78 - границы промежутка локализации корня [a,b], в колонкахE,F,G– значения функцииYв точкахa,b,x_iсоответственно, в ячейкахB80,C80 и ниже в этих колонках записывается условный оператор , соответствующий блок-схеме на рис.9. В колонкеHвычисляется длина отрезка [X_i-X_i-1] на каждом шаге.

Таблица 3

	A	B	C	D	E	F	G	H
		=ЕСЛИ(E78*G78>0;C78;D78)		=(F78*B78-E78*C78)/(F78-E78)
=ЕСЛИ(E78*G78>0;D78;B78)
78	i	a	b	Xi	Y(a)	Y(b)	Y(Xi)	Xi-Xi-1
79	0	1.5	2	1.76471	-1.125	1	-0.32791
80	1	1.76471	2	1.82281	-0.32791	1	-0.05752	0.26471
81	2	1.82281	2	1.83245	-0.05752	1	-0.00913	0.05810
82	3	1.83245	2	1.83396	-0.00913	1	-0.00143	0.00964
83	4	1.83396	2	1.83420	-0.00143	1	-0.00022	0.00152
84	5	1.83420	2	1.83424	-0.00022	1	-3.5E-05	0.00024

Так как в строке 84 длина отрезка [X_i-X_i-1] оказалась равной 0.00024 что меньше точности=0.0005, то полученное в ячейке В84 значениеX=1.83420 является корнем уравнения, вычисленным с точностью=0.0005.