- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ
- •Используемые обозначения
- •4. Изгиб Основные понятия и формулы
- •4.1. Расчет статически определимых балок
- •Пример 1 Условие задачи
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)
- •Пример 1
- •Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 3 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)
- •Основные определения
- •Аналитический способ определения перемещений
- •Метод Максвелла – Мора определения перемещений
- •Определение перемещений в балках аналитическим способом Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.2. Расчет статически определимых рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- •Решение
- •4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
- •Основные определения
- •Пример расчета трубопровода (задача № 26) Условие задачи
- •Решение
- •4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне
- •Основные определения
- •Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
- •Сопротивление материалов
- •Часть 2
Примеры решения задач
4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах
(задачи № 21, 22)
Условие задачи
Рассмотрим раму, показанную на рис. 4.26, и определим в ней внутренние усилия, то есть построим эпюры N, Q и М.
Решение
Найдем три опорные реакции, используя три уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, чтобы в каждое из них входила бы только одна неизвестная реакция. В данном примере это такие уравнения (предполагаемые направления реакций показаны на рис. 4.27, а):
Рис. 4.26. Схема рамы
с нагрузками
; ;кН;
проекций сил на вертикальную ось равна 0; ;кН;
; ;кН.
Для проверки используем уравнение "сумма проекций сил на горизонталь- ную ось равна нулю":
.
Рис. 4.27. Определение внутренних усилий
в раме:
а– схема рамы с нагрузками;б,в,г– эпюры внутренних усилий
участок 1: м;
кН;
;
;
участок 2: м;
кН;
кН;
;
участок 3: м;
кН;
кН;
.
Строим эпюры усилий, используя написанные выражения (рис. 4.27, б, в, г). Значение максимального момента определяем так же, как в балках.
Рис. 4.28. Проверка равновесия узлов
4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
Для рамы, показанной на рис. 4.26, найдем вертикальное перемещение точки В и угол поворота сечения А. Жесткость стержней рамы будем считать одинаковой (). Перемещения ищем методом Максвелла – Мора, интегрируя формулу Максвелла – Мора аналитически и графически (с помощью правила Верещагина).
Решение
Рис. 4.29. Рама под действием единичной
обобщенной силы:
а– соответствующей;б– соответствующей
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: м;
.
Аналогично для определения второго обобщенного перемещения – угла поворота сечения А – приложим в точке А сосредоточенную пару сил, равную единице (рис. 4.29, б), и определим изгибающий момент от этой пары:
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: м;
.
Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулы
Максвелла – Мора
Подставим в формулу Максвелла – Мора (4.21) выражения для изгибающих моментов от заданной нагрузки, найденные ранее при определении внутренних усилий в рассматриваемой раме, умножим их на выражения для изгибающих моментов от единичных обобщенных сил на всех трех участках и выполним интегрирование. Тогда, учтя, что , проинтегрируем формулу (4.21):
250 кН·м3;
–63,3 кН·м2.
В соответствии с правилом знаков метода Максвелла – Мора положительный знак вертикального перемещения говорит о том, что точка В перемещается по направлению обобщенной силы, то есть вверх. Сечение А поворачивается по часовой стрелке (в сторону, противоположную направлению единичной пары сил, так как знак угла поворота отрицательный).
Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина
Рис. 4.30. Эпюры моментов: а– от
заданной нагрузки;
б– от единичной обобщенной силы,
соответствующей;
в– от единичной обобщенной силы,
соответствующей
кН·м3.
Аналогично находим угол поворота сечения А, перемножая эпюры М и М2. Ординаты под центрами тяжести площадей w1, w2 и w3 показаны на рис. 4.30, в (h¢1, h¢2 и h¢3). Для перемножения трапеции w4 на прямоугольник эпюры М2 нет необходимости пользоваться правилом трапеций, так как, где бы ни находился центр тяжести трапеции, значение h¢4 известно (ординаты на эпюре М2 на этом участке постоянны).
Рис. 4.31. Изогнутая ось рамы
кН·м2.
Результаты, полученные по двум вариантам использования формулы Максвелла – Мора, совпадают.
В заключение построим деформированную ось рамы так, чтобы она удовлетворяла эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления рамы (рис. 4.31). На рис. 4.31 показаны полученные перемещения –,в соответствии с их направлениями. Точка перегиба (крестик) изогнутой оси ригеля имеет место в сечении, где меняет знак изгибающий момент. Углы рамы в процессе деформации не меняются.11
.