Лабораторная работа №3

Эмпирическое исследование методов статистики

Решите предложенные ниже задачи и сделайте вывод о том, как исследуемые величины помогают анализу педагогического процесса. Составьте две задачи с педагогическим содержанием для расчета статистических величин.

Задача № 1

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

xi	30	40	60
pi	0,5	0,2	0,3

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

.

Для вычисления характеристик случайной величины воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

,

.

Задача № 2

Дана интегральная функция F(x) распределения непрерывной случайной величины: .

Требуется: 1) убедиться, что заданная функция F(x) является функцией распределения, проверив свойства функции; 2) найти плотность данного распределения f(x); 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

Решение. 1) На левом конце участка заданной функции имеем: F(1)= , а на правом конце участка: F(2)= . Так как выполняется свойство непрерывности функции распределения, то F(x) является интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины.

2) Плотность распределения или дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины находится по формуле: , т.е. в данном случае:

.

3)

Рис.1

Задача № 3

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где m_i – частота попадания вариант в промежуток (х_i, х_i+1).

i	xi<Xxi+1	mi
1	2 – 6	5
2	6 – 10	3
3	10 – 14	18
4	14 – 18	9
5	18 - 22	5

Решение. Относительная частота рассчитывается по формуле: . Т.е. при 5+3+18+9+5=40 получим ряд значений:

, , , , .

По полученным результатам и данным таблицы строим гистограмму.

Рис.2

Задача № 4

На основании данного распределения выборки найти выборочное среднее, смещённую и несмещенную выборочные дисперсии. Построить полигон частот.

Распределение
хi	-4	-1	2	8
ni	16	8	14	12

Решение. Найдём выборочное среднее (несмещенную оценку математического ожидания):

.

Смещённая оценка дисперсии:

.

Несмещённая (исправленная) дисперсия:

.

По данным таблицы строим полигон частот.

Рис.3

Задачи для самостоятельного решения

Задачи № 1-10

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Известно её математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение . 1) Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (,). 2) Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х-а окажется меньше . Конкретные значения параметров заданы в таблице.

Номер задачи	а				
1	7	3	6	10	1
2	12	4	12	16	2
3	9	3	9	18	6
4	14	2	10	12	1
5	8	4	8	12	8
6	13	4	11	21	8
7	10	2	13	15	1
8	15	2	9	19	3
9	11	4	13	23	6
1	16	6	12	16	3