Semenova_matem1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ — УЧЕБНО-НАУЧНО- ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС»

Г.А. Семенова, Т.А. Никольская, Е.Ю. Тюлькина

МАТЕМАТИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Часть 1

Рекомендовано ФГОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК» для использования в учебном процессе в качестве учебного пособия

для высшего профессионального образования

Орел 2011

Оглавление

2.1.Функция комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1.Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3.Элементарные функции комплексного переменного . . 16

2.2.Дифференцирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3

Глава 1.

Комплексные числа

1.1. Понятие комплексного числа

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом Re(z); число y называется мнимой частью

комплексного числа z = x + iy и обозначается Im(z).

6

Действительные числа можно истолковать как некоторое подмножество во множестве комплексных чисел, а именно, все они являются комплексными числами вида x + i0.

Выражения вида 0 + iy называются мнимыми числами. Выражение

0 + i1 называется мнимой единицей , и по свойству 3◦ i2 = −1.

Свойства операций над комплексными числами:

• сложение:

Комплексное число (x − iy) называется комплексно сопряженным

с числом (x + iy). Число, комплексно сопряженное с числом z, обозначается z. При этом имеют место следующие соотношения:

причем z = 0 тогда и только тогда, когда z = 0. При этом имеют место следующие соотношения:

7

1◦ |z1 · z2| = |z1||z2|;

2◦ | z1 |= |z1|, если z2 =6 0; z2 |z2|

3◦ |zn| = |z|n для любого целого n;

4◦ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.

1.2.Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексная плоскость

Поставим в соответствие комплексному числу z = x + iy плоскости

R2 точку A(x; y). В этом случае действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которая называется действительной осью; мнимые числа изображаются точками оси ординат, которая называется мнимой осью. Обратно, каждой точке плоскости с координатами (x; y) может быть поставлено в соответствие комплексное число z = x + iy. Таким образом, соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаимно однозначное.

Из аналитической геометрии известно, что каждой точке A(x; y)

плоскости соответствует один и только один вектор с началом в точке

O(0; 0) и концом в точке A(x; y), называемый радиус–вектором. Поэтому комплексное число можно изобразить как вектор с началом в точке z = 0 и концом в точке z = x + iy (рис. 1.1). Из данной геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства:

1◦ длина вектора z равна модулю комплексного числа |z|;

2◦ точки z и z симметричны относительно действительной оси (рис. 1.2);

3◦ точки z и (−z) симметричны относительно точки z = 0 (рис. 1.3);

◦ −−−−→

4 число z1 + z2 геометрически изображается как вектор z1 + z2, построенный по правилу сложения векторов ~z1 и ~z2 (рис. 1.4);

5◦ расстояние между точками z1 и z2 равно |z1 − z2|.

8

1.3.Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Аргументом Arg(z) комплексного числа z = x + iy называется

угол '0 между положительным направлением действительной оси и вектором ~z, определяемый с точностью до слагаемого, кратного 2 . Главное значение аргумента arg(z) = ', 0 ≤ ' < 2 , тогда Arg(z) = arg(z) + 2 k, k Z (рис. 1.5). Для числа z = 0 аргумент не определяется.

Справедливы равенства x = |z| cos ', y = |z| sin ', и наоборот,

Выражение x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z.

Тригонометрическая форма комплексного числа z = x + iy имеет

9

вид:

Рис. 1.5 z = |z|ei': (1:2)

Замечание. Модуль комплексного числа ei' равен единице. Следовательно, в плоскости комплексных чисел такое число располагается на окружности единичного радиуса. Таким образом, комплексное число z = |z|ei' на комплексной плоскости можно

изобразить следующим образом: откладывается луч с вершиной в начале координат, образующий угол ' с положительным направлением действительной оси, затем проводится окружность радиуса r = |z| с

центром в начале координат. Точка пересечения этих линий и будет геометрической интерпретацией числа z.

10