Semenova_matem1

2.3.4. Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой односвязной области D, L – граница области, тогда имеет место формула

Зафиксируем произвольную точку z0. Построим окружность Lr

сцентром в точке z0 и малым радиусом r так, чтобы Lr D. Получим двусвязную область D1, ограниченную контурами L и Lr (рис. 2.8),

в которой подинтегральная функция f(z) аналитична.

z−z0

L

По условию теоремы, функция f(z) аналитична, т.е. f(z) непрерывна в точке z0 D, значит, для любого " > 0 найдется > 0, такое, что для всех z D, удовлетворяющих условию |z − z0| < , следует выполнение

31

неравенства |f(z) − f(z0)| < ".

Зафиксируем " > 0, по нему подберем > 0 и возьмем в качестве

Интеграл (2:5) называется интегралом Коши, а сама формула –

интегральной формулой Коши.

Замечание. Формула Коши позволяет находить значение аналитической функции f(z) в любой точке z0, лежащей внутри области D, через ее значения на границе этой области.

Теорема. Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f(z) существуют производные всех порядков, причем про-

изводная порядка n имеет вид

Теорема. В окрестности каждой точки z0, где существует производная f0(z), функция f(z) может быть представлена

сходящимся рядом

f(z) = f(z0) + f0(z0)(z − z0) + f00(z0) (z − z0)2 + : : :

2!

: : : + f(n)(z0) (z − z0)n + : : : (2.6)

n!

32

Следствие. Производная аналитической функции также является аналитической функцией.

Замечание. Ряд (2.5) называется рядом Тейлора функции f(z)

в точке z0. При этом ряд Тейлора функции комплексного переменного существует и сходится к самой функции. Ряд Тейлора для действительной функции f(x) может сходиться к другой функции или быть расходящимся.

2.4. Ряды в комплексной плоскости

Числовые ряды

ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

33

основные определения и теоремы аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

перестановка членов ряда, что не влияет на сумму ряда. Кроме того, такие ряды можно почленно складывать и перемножать.

Степенным рядом в комплексной области называют ряд вида

∑∞

n=1

где Cn – комплексные числа; z = x + iy – комплексная переменная.

∑∞

Замечание. Степенной ряд общего вида Cn(z − z0)n, где z0 –

n=1

комплексное число, подстановкой t = z − z0 сводится к ряду (2.7).

34

Ряд (2.7) при одних значениях аргумента z может сходиться, а при других – расходиться.

Совокупность всех значений z, при которых ряд (2.7) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2.7) сходится при z = z0 (z0 =6 0), то он абсолютно сходится при всех значениях z, удовлетворяющих условию |z| < |z0|:

Следствие. Если ряд (2.7) расходится при z = z0, то он расходится при всех значениях z, удовлетворяющих условию |z| > |z0|:

Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда (2.7) существует действительное число R, называемое радиусом сходимости,

R : 0 ≤ R ≤ ∞. При этом внутри круга |z| < R, называемом

кругом сходимости, находятся все точки сходимости ряда (2.7), а во всех точках вне этого круга ряд (2.7) расходится. Кроме того, в точках окружности |z| = R ряд (2.7) может как сходиться, так и расходиться.

35

2.4.1. Ряд Тейлора

Теорема. Всякая аналитическая в круге |z − z0| < R

функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

сходимости, причем такое представление единственно.

Пусть функция f(z) аналитична в круге |z − z0| < R. Рассмотрим окружность Lr с центром в точке z0 и радиусом r < R (рис 2.9). Пусть фиксированная точка z лежит внутри круга, т.е. z : |z − z0| < r. Отметим,что функция f(z) аналитична, в том числе и на окружности Lr, и внутри нее, поэтому к ней применима интегральная формула Коши:

36

n!

Докажем единственность разложения. Пусть функция f(z) в том же круге |z − z0| < R представлена другим степенным рядом

f(z) = b0 + b1(z − z0) + b2(z − z0)2 + : : : + bn(z − z0)n + : : :

Последовательно дифференцируя этот ряд, получаем

f0(z) = b1 + 2b2(z − z0) + 3b3(z − z0)2 + : : : + nbn(z − z0)n−1 + : : :

f00(z) = 2b2 + 6b3(z − z0) + : : : + n(n − 1)bn(z − z0)n−2 + : : :

: : :

f(n)(z) = n!bn + (n + 1)!bn+1(z − z0) + : : :

Полагая во всех этих равенствах и в исходном ряде z = z0, следовательно

37

Разложения элементарных функций в ряд Тейлора

38

2.4.2. Ряды Лорана

Точка z0 называется нулем функции f(z), если f(z0) = 0. В этом случае C0 = f(z0) = 0. Если же не только C0 = 0, но и

C1 = : : : = Cm−1 = 0, а Cm =6 0, то разложение функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид:

f(z) = Cm(z − z0)m + Cm+1(z − z0)m+1 + : : :, точка z0 называется нулем кратности m; если m = 1, то z0 называется простым нулем.

Так как Cn = f(n)(z0) , то в случае, когда z0 – ноль кратности m, n!

∑

∞

f(z0) = f0(z0) = : : := f(m−1)(z0) = 0, а значит, f(z) = Cn(z − z0)n =

n=m

= (z − z0)m'(z), где '(z) = Cm + Cm+1(z − z0) + Cm+2(z − z0)2 + : : :, при этом для функции '(z) точка z0 уже не является нулем, так как

'(z0) = Cm =6 0.

Теорема. Всякая аналитическая в кольце

r < |z − z0| < R функция f(z) может быть разложена в этом

Ряд (2.9) называется рядом Лорана. Отметим, что в

первая часть называется правильной частью ряда Лорана, этот ряд сходится внутри круга |z − z0| < R к аналитической функции f1(z). Вторая часть ряда Лорана называется главной частью, и она сходится вне круга |z − z0| < R к аналитической функции f2(z). Таким образом внутри кольца r < |z − z0| < R ряд (2:9) сходится к аналитической функции f(z) = f1(z) + f2(z). В частности, если функция f(z) не имеет внутри круга |z − z0| < R особых точек, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.

39

Замечание. На практике для разложения в ряд Лорана используются уже известные разложения на интервалах аналитичности функции.

2.4.3. Классификация точек разрыва

Особая точка z = z0 функции f(z) называется изолированной, если

в некоторой ее проколотой окрестности V (z0) функция f(z) не имеет других особых точек.

Если z0 – изолированная точка функции f(z), то существует такое число R > 0, что в кольце 0 < |z − z0| < R функция аналитична

и разлагается в ряд Лорана:

Если в соответствующем ряде Лорана нет главной части, то изолированная особая точка z0 называется устранимой особой точкой

функции f(z):

Если главная часть соответствующего ряда Лорана содержит конечное число элементов, то z0 — полюс функции f(z).

Если разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное число членов, то точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z).

Если z0 – устранимая особая точка, то в окрестности точки z0

∑∞

разложение Лорана имеет вид: f(z) =

n=0

справедливо в кольце 0 < |z − z0| < R, и если доопределить функцию

f(z0) = C0, где C0 = lim f(z), то точка z0 становится правильной

z→z0

точкой функции f1(z). Это, кроме всего прочего, означает, что функция f(z) ограничена в круге |z − z0| < R.

Лемма. Изолированная особая точка z = z0 является

устранимой, если существует конечный предел lim f(z) = A:

z→z0

40