Semenova_matem1

1.4. Степень и корень из комплексного числа

Возведение комплексного числа z= x + iy, записанного в тригонометрической форме, т.е. z = |z|(cos '+i sin '), в степень n(n N) производится по формуле Муавра, при этом формулы бинома и геометрической прогрессии верны

= 3( 23 − 2i ) = 3 2 3 − 32i :

11

√

Пример 3. Найти все значения корня 6 −64:

12

13

Глава 2.

Элементы теории функции комплексного переменного

2.1.Функция комплексного переменного

2.1.1.Основные понятия

Рассмотрим два множества D и E R2, элементами которых являются комплексные числа.

Пусть z = x+iy D, w = u+iv E — точки комплексной плоскости. Если каждому комплексному числу z D поставлено в соответствие определенное комплексное число w E, то говорят, что на множестве

D определена однозначная функция комплексного переменного w = f(z), отображающая множество D на множество E. Если же каждому значению z D соответствует несколько значений w , то функция w = f(z) называется многозначной (рис. 2.1).

14

Множество D называется областью определения функции

w = f(z); множество E1 E всех значений, которые принимает функция f(z), называется областью значений.

Функцию w = f(z) можно представить в виде f(x + iy) =

= u(x; y) + iv(x; y), где u = u(x; y) = Ref(z); v = v(x; y) = Imf(z). Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

2.1.2. Предел и непрерывность

Окрестностью V (z0) точки z0 называется внутренность круга радиусом с центром в точке z0, то есть все точки, удовлетворяющие условию

z : |z − z0| < . Проколотой окрестностью V (z0) точки z0 называются точки, удовлетворяющие условию z : 0 < |z−z0| < , то есть внутренность круга радиусом с центром в точке z0, за исключением самой точки z0.

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой

проколотой окрестности V (z0) точки z0. Число A называется пределом

функции w = f(z) в точке z0 (или при z → z0), если для любого положительного числа " > 0 найдется такое положительное число , что для всех z, удовлетворяющих неравенству 0 < |z − z0| < , выполняется неравенство |f(z) − A| < ", т.е.

(" > 0) ( > 0); (z V (z0))[f(z) V (A)]:

И наоборот, если существуют пределы (2.1), то существует и предел

lim f(z) = w0.

z→z0

15

Свойства функций комплексного переменного, имеющих предел:

Пусть функция w = f(z) определена в некоторой окрестности V (z0)

точки z0. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0, если lim f(z) = f(z0).

Функция w = f(z) непрерывна в точке z0, если бесконечно малому приращению аргумента z соответствует бесконечно малое приращение

функции f, то есть lim f(z) = 0.

Замечание. Модуль непрерывной функции комплексного переменного |f(z)| обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного переменного. Действительно, если lim f(z) = 0, то

|f(z)| является непрерывной функцией двух переменных. Функция w = f(z) называется непрерывной на множестве D; если она непрерывна в каждой точке этого множества.

2.1.3. Элементарные функции комплексного переменного

Показательная функция w = ez z C определяется формулой

w = ez = ex(cos y + i sin y):

16

Легко убедиться, что при z R (z = x+ iy) показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного.

Свойства показательной функции:

Действительно, при n N, ez+nT = ez+n2 i = ez · en2 i = = eze0(cos(2 n) + i sin(2 n)) = ez:

Замечание. Показательная функция w = ez (−∞; 0) (0; ∞).

Число w называется логарифмом числа z =6 0, если ew = z, и обозначается w = Lnz.

Значение показательной функции ew = z всегда отлично от нуля при z 6= 0, значит, функция w = Ln z определена на всей плоскости z C.

Легко заметить, что Ln z = ln |z|+ i(arg z + 2 k). Кроме того, из этой формулы следует , что w = Ln z — многозначная функция. При k = 0

получаем однозначную функцию, которую называют главным значением

логарифма и обозначают ln z, т.е. Ln z = ln z + 2 ki:

Свойства логарифма:

1◦ Ln (z1 · z2) = Ln z1 + Ln z2; 2◦ Ln zn = nLn z; n N:

Если n — натуральное число, то степенная функция определяется равенством w = zn = rn(cos n' + i sin n'), где r = |z|; ' = arg z. Функция w = zn — однозначная.

17

Если n = 1q , где q N, то извлечение корня определяется равенством

1

где k = 0; 1; 2; 3; :::; q − 1. Функция w = eq — многозначная функция.

Степенная функция w = za с произвольным показательным аргументом a = + i — многозначная функция и определяется равенством

w = za = eaLnz:

Тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами:

Легко убедиться, что при действительных z эти функции превращаются в тригономметрические функции действительного переменного.

Свойства тригонометрических функций:

Гиперболические функции комплексного переменного определяются равенствами

18

Замечание.

sh iz = i sin z; т.е. sin z = −i sh iz; ch iz = cos z:

Свойства гиперболических функций:

Обратные функции. Число w называется арксинусом числа z, если sin w = z и обозначается w = Arcsin z. Остальные определения даются

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно w = Arsh z (ареасинус), w = Arсh z (ареакосинус), w = Arth z

(ареатангенс), w = Arсth z (ареакотангенс) Для обратных гиперболиче-

ских функций справедливы формулы:

Все вышеперечисленные функции многозначные.

19

2.2.Дифференцирование функции комплексного переменного

2.2.1.Условия Коши – Римана

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрестности V (z) точки z. Тогда предел

если он существует, называется производной функции f(z) в точке z, а сама функция называется дифференцируемой в точке z.

Замечание. Из дифференцируемости функции f(z) в некотрой точке z следует непрерывность функции в этой точке. Обратное неверно.

Теорема. Если функция w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y)

определена в некоторой окрестности V (z) точки z, причем

в этой окрестности действительные функции u(x; y); v(x; y)

дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w = f(z) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

С учетом условий Коши – Римана, производную дифференцируемой функции f(z) можно находить по одной из формул:

f0(z) = @u@x + i@x@v ; f0(z) = @u@x − i@u@y ; f0(z) = @y@v + i@x@v ; f0(z) = @y@v − i@u@y :

Свойства дифференцируемых функций:

1◦ пусть f1(z), f2(z) дифференцируемы в некоторой точке z, тогда:

(f1(z) ± f2(z))0 = f10 (z) ± f20 (z);

(f1(z) · f2(z))0 = f10(z) · f2(z) + f1(z) · f20 (z);

20