MU_Predely
.docМетодические указания к выполнению типового расчета по теме « Пределы»
Настоящие «Методические указания» предназначены для студентов I курса всех специальностей дневного и вечернего отделения, выполняющих в первом семестре типовой расчет по теме «Пределы».
«Указания» содержат подробные разъяснения по каждому заданию, методы решения всех типов примеров, входящих в ТР, ссылки на литературу по данному вопросу.
Данное пособие поможет студентам приобрести навыки решения основных задач по теме «Пределы».
Примеры выполнения расчетных заданий.
Задача 1. Доказать, что , указать
; а=2.
Решение: по определению предела последовательности:
2=, если для такой, что для выполняется неравенство: . (1)
Решая это неравенство, находим:
,
,
для n >1: , следовательно, 0< , , ,
Таким образом, неравенство (1) будет выполняться при всех n >, т. е. для такой, что для будет выполняться неравенство (1). За можно взять целую часть числа : =Е().
Например:, ,
, .
Ответ: если для такой, что для выполняется неравенство: , значит =2.
Литература: , стр. 32; , стр. 49 (пр. 2-5); , № 634, 635.
Задача 2 .Вычислить предел числовой последовательности: .
Решение: при непосредственной подстановке предела аргумента получим неопределенность вида .
Упростим числитель и знаменатель дроби:
;
=;
Тогда : .=;
Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень n ( в данном случае на ), получим: : =.
Ответ: =0.
Литература:
Задача 3. Вычислить предел числовой последовательности: .
Решение: при непосредственной подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (в данном случае на ):
=.
Ответ: =1.
Литература:
Задача 4. Вычислить предел числовой последовательности:.
Решение: в этом примере имеет место неопределенность вида .
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, умножив и разделив его на выражение, сопряженное выражению, заключенному в скобках:
=.
Тогда: =.
Разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком предела, на старшую степень n ( в данном случае на ):
=.
Ответ: :=0.
Литература:
Задача 5. Вычислить предел числовой последовательности:
а) .
Решение: при непосредственной подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида.
Рассмотрим числитель дроби:2+4+6+…+2n = Sn – сумма n членов арифметической прогрессии ( ), т.к. имеем.
Тогда: =, т.к. если числитель и знаменатель дроби имеют равные старшие степени, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях n.
Ответ: =1.
б) .
Решение: при непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеем неопределенность .
Вспомним, что
,
Тогда: ==, т. к. степень числителя больше степени знаменателя.
Ответ: =.
в).
Решение: при непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеем неопределенность .Разделим числитель и знаменатель дроби на степень с большим основанием:
=, т.к. .
Ответ: =.
Литература: , № 39, 71 (1-4).
Задача 6. Вычислить предел числовой последовательности: .
Решение: здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем последовательность так, чтобы использовать следствие второго замечательного предела:, где-функция целочисленного аргумента:
=
== (применяя теорему о предельном переходе под знаком непрерывной функции) ==
=, т.к. , а .
Ответ: =.
Литература:, стр. 173-174; [9], стр.34; [7], № 648; [8], № 88.
Задача 7. Доказать, что , ( найти ).
Решение: по определению предела функции в точке , если
такое, что, которые подчиняются условию , выполняется неравенство .
Разложим многочлен, стоящий в числителе, на множители: .
Тогда получаем:.
Сократим на ( имеем право выполнить сокращения, т. к. ) и получим:
.
Таким образом мы получили, что из выполнения неравенства следует выполнение неравенства . За можно взять, т.е. .
Ответ: , .
Литература : [1], стр. 78 (пр.1); [3], стр. 35-36 (пр. 1-3), 37-38 (пр. 1-4); [8], № 29.
Задача 8. Доказать, что функция непрерывна в точке . Найти .
Решение: По определению непрерывности функции в точке: функция непрерывна в точке, если, такое, что из выполнения неравенства следует выполнение неравенства .
Зададим и покажем , что можно найти такое , что при любом удовлетворяющем неравенству будет справедливо неравенство.Рассмотрим неравенство:
.
Решим неравенство, считая :
Таким образом, из выполнения неравенства следует выполнение неравенства , а значит функция непрерывна в точке . .
Ответ: функция непрерывна в точке ; .
Литература:
Задача 9. Вычислить предел функции .
Решение: при подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида . Так как числитель и знаменатель дроби обращается в ноль при х=1, то х=1 является их корнем. Выделим в числителе и знаменателе множитель (х-1), для чего воспользуемся правилом деления многочлена на двучлен:
- |
x3 |
- |
2x2 |
- |
5x |
+ |
6 |
x-1 |
- |
x3 |
+ |
2x2 |
- |
x |
- |
2 |
x-1 |
x3 |
- |
x2 |
|
|
|
|
x2-x-6 |
x3 |
- |
x2 |
|
|
|
|
x2+3x+2 |
||
|
- |
- |
x2 |
- |
5x |
+ |
6 |
|
|
|
- |
3x2 |
- |
x |
- |
2 |
|
|
- |
x2 |
+ |
x |
|
|
|
|
|
3x2 |
- |
3x |
|
|
|
||
|
|
|
- |
- |
6x |
+ |
6 |
|
|
|
|
|
- |
2x |
- |
2 |
|
|
|
|
- |
6x |
+ |
6 |
|
|
|
|
|
2x |
- |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Таким образом:
.
Тогда имеем: =.
Ответ: = -1.
Литература: [3], стр. 45 (пр. 4); [4], стр. 137 (пр. 4); [7], № 638-640; [8], № 52, 71(1,2).
Задача 10. Вычислить предел функции: .
Решение: при непосредственной подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида . Освободимся от иррациональности в числителе, дополнив его до разности кубов. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы:.
=
== .
Ответ: =0.
Литература: [4], стр. 93 (пр.2,3), стр. 136 (пр. 3); [7], № 641, 642, 647; [8], № 53.
Задача 11. Вычислить предел функции .
Решение: при непосредственной подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида . Вычислим этот предел, используя теорему о замене бесконечно малых функций эквивалентными ( [9], 9(3), стр.36).
Тогда =
=.
Ответ: =1.
Литература: [3], стр. 48 (пр. 1-4), стр. 52 (пр.1-4); [7], № 643, 644, 703; [8], №54, 78 (1,2); [9], § 6.
Задача 12. Вычислить предел функции .
Решение: при непосредственной подстановке предела аргумента получаем неопределенность вида . При решении подобных примеров удобно сделать замену переменной, чтобы воспользоваться эквивалентными равенствами.
= = (умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ) ==
=.
Ответ: =8.
Литература: [4], стр. 113 (пр. 8); [8], № 76; [9], § 4.
Задача 13. Вычислить предел функции .
Решение: при непосредственной подстановке предела аргумента получаем неопределенность вида . Сделаем замену переменной, чтобы воспользоваться эквивалентными равенствами.
=
= .
О твет: =.
Литература:
Задача 14. Вычислить предел функции: .
Решение: при непосредственной подстановке предела аргумента получаем неопределенность вида . Преобразуем выражение стоящее под знаком предела, чтобы воспользоваться следствиями из первого и второго замечательных пределов: в числителе прибавим и вычтем единицу, и затем разделим числитель и знаменатель на .
=.
Ответ: =.
Литература:
Задача 15. Вычислить предел функции: .
Решение: при непосредственной подстановке предела аргумента получаем неопределенность вида . Преобразуем выражение стоящее под знаком предела, чтобы можно было воспользоваться эквивалентными равенствами.
=
=.
Ответ: =0.
Литература:
Задача 16. Вычислить предел функции .
Решение: Непосредственное применение теорем о пределах приводит к неопределенности вида . При решении подобных примеров можно использовать логарифмирование.
Пусть =А, тогда
=
==.
.