Оценка погрешности
Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в и непрерывно дифференцируема по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности
где — средний шаг, то есть существует такая, что .
Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.
№ 17 Задача Коши методом Рунге-Кутта
Изложим идею метода на примере задачи Коши:
(6.7)
Интегрируя это уравнение в пределах от X до X + H (0 < H <1), получим равенство
(6.8)
Которое посредством последнего интеграла связывает значения решения рассматриваемого уравнения в двух точках, удаленных друг от друга на расстояние шага H.
Для удобства записи выражения (6.8) используем обозначение ∆Y = Y(X + H) – Y(X) и замену переменной интегрирования T = X + AH. Окончательно получим:
(6.9)
Указав эффективный метод приближенного вычисления интеграла в выражении (6.9), мы получим при этом одно из правил численного интегрирования уравнения (6.7).
Постараемся составить линейную комбинацию величин jI, I = 0, 1, ..., Q, которая будет являться аналогом квадратурной суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения DY:
(6.10)
Где
Метод четвертого порядка для Q = 3, являющийся аналогом широко известной в литературе четырехточечной квадратурной формулы "трех восьмых", имеет вид
(6.11)
Где
Особо широко известно другое вычислительное правило типа Рунге-Кутта четвертого порядка точности:
(6.12)
Где
Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ H4 ).
Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности M, то погрешность можно приближенно оценить по формуле
(6.13)
В формуле (6.13) O(Xi) – главный член погрешности, И - приближенные решения в точке Xi, найденные с шагом H и 2H соответственно.
№ 18 Система ОДУ Метод Эйлера
Системы дифференциальных уравнений
Очень часто приходится иметь дело с задачей, в которой необходимо решить систему нескольких дифференциальных уравнений с несколькими искомыми функциями.
Будем рассматривать нормальные системы дифференциальных уравнений, в которых уравнения разрешены относительно производных и число уравнений равно числу неизвестных функций. Например, система двух уравнений с двумя неизвестными функциями y, z от одного и того же аргумента x в нормальной форме имеет вид:
, |
(8.34) |
причем штрих означает производную по x. Общий вид нормальной системы n уравнений с n неизвестными функциями x1, x2, ..., xn от переменного t имеет вид:
(8.35) |
Рассмотренные численные методы решения дифференциального уравнения вида y/=f(x, y) без труда переносятся на системы вида (8.35): каждый раз при переходе к следующей точке параллельно вычисляются приращения каждой из неизвестных функций по аналогичным формулам.
Так , для нормальной системы двух уравнений
, с начальными условиями |
(8.36) |
используя метод Эйлера, можно записать расчетные формулы так:
№19