6. Координаты шаров и пустот в двухслойной и трехслойной упаковках

Зная число твердых шаров, октаэдрических и тетраэдрических пустот в плонейших упаковках и считая, что все шары, октаэдрические и тетраэдрические пустоты взаимно эквивалентны, можно найти правильные системы точек пространственных групп, по которым они располагаются. Центры шаров, октаэдрических и тетраэдрических пустот будут иметь координаты, совпадающие с координатами точек соотвествующих правильных систем.

Наше рассмотрение начнем с трехслойной упаковки. Найдем число шаров, приходящихся на элементарную ячейку кубической упаковки. Из рис. 12 видно, что по положению в элементарной ячейке все шары можно условно разделить на два типа — находящиеся в вершинах элементарного куба и в серединах граней. Каждый шар, находящийся в вершине элементарной ячейки, принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. С учетом того, что таких шаров восемь, получаем, что они дают в среднем один шар на элементарную ячейку. Шаров, находящихся в серединах граней, — шесть, и каждый принадлежит одновременно двум элементарным ячейкам. Они дают три шара на ячейку. Таким образом, одной элементарной ячейке трехслойной упаковки принадлежат четыре шара.

Выше в §4 мы рассчитали, что на один шар плотнейших упаковок приходится одна октаэдрическая и две тетраэдрические пустоты. Следовательно, в кубической элементарной ячейке содержится четыре октаэдрические и восемь тетраэдрических пустот.

Итак, мы должны разместить четыре шара, четыре октаэдрические и восемь тетраэдрических пустот в элементарной ячейке кристалла, структура которого описывается пространственной группой Fm3m. Эта группа имеет две четырехкратные 4(a), 4(b) и одну восьмикратную 8(c) правильные системы точек. Симметрия позиций 4(a) и 4(b) — m3m, позиции 8(c) — 43m. Это значит, что координаты этих правильных систем точек описывают центры шаров, центры октаэдров и центры тетраэдров (точки, в которых пересекаются все элементы симметрии точечных групп шаров, октаэдров и тетраэдров) соответственно. Таким образом, при совмещении начала координат с центром шара шары и пустоты в кубической плотнейшей упаковке имеют следующие координаты (в долях ребер элементарной ячейки):

Рассмотрим двухслойную плотнейшую упаковку. Найдем число шаров, приходящихся на элементарную ячейку в двухслойной упаковке. На рис.14 показана проекция элементарной ячейки двухслойной упаковки на плоскость, перпендикулярную оси 3-го порядка.

Для подсчета числа шаров и пустот, приходящихся на одну элементарную ячейку выберем начало координат в центре одного из шаров. Тогда элементарная ячейка будет представлять собой параллелепипед, в основании которого лежит ромб и в вершинах которого располагаются центры шаров (рис.14). Из рисунка видно, что, как и в трехслойной упаковке, в элементарной ячейке гексагональной плотнейшей упаковки присутствуют шары двух типов. Шары в вершинах элементарного параллелепипеда принадлежат одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, восемь вершин параллелепипеда дают один шар на элементарную ячейку. Кроме того, в элементарной ячейке имеется еще один шар, который не располагается на какой-либо грани или на ребре ячейки, т. е. его центр лежит внутри элементарного параллелепипеда. Он дает еще один шар на ячейку. Таким образом, в элементарной ячейке двухслойной плотнейшей упаковки содержатсядва шара. С учетом числа пустот, приходящихся на один шар, получаем, что в элементарной ячейке ГПУ-упаковки имеются две октаэдрические и четыре тетраэдрические пустоты.

Рис.14. Элементарная ячейка двухслойной плотнейшей упаковки:

Изображен ромб — основание гексагональной элементарной ячейки — и шар, расположенный внутри элементарной ячейки. Начало координат выбрано в центре шара

Таким образом, мы должны в кристаллическом пространстве с симметрией Рmc расположить шары и пустоты по правильным системам точек с кратностью 2 и 4. Обратимся к списку правильных систем точек группы Рmc. Кратность обшей правильной системы точек равна 24. Следовательно, как и в трехслойной упаковке, шары и пустоты располагаются по частным правильным системам точек.

Для группы Рmc характерны четыре двухкратные и две четырехкратные правильные системы точек:

Заметим, что график пространственной группы Рmc и соответственно координаты точек правильной системы записаны, исходя из того, что начало кристаллографической системы координат выбрано в центре инверсии на винтовой оси 6-го порядка 63, т. е. не в центре шара, как это показано на рис. 14, а в центре октаэдрической пустоты (рис. 15).

Видно, что ненулевые значения координат X и Y характерны лишь для двухкратных правильных систем точек d или с. Поэтомудля описания координат шаров могут быть использованы только эти правильные системы точек.

Рис.15. Элементарная ячейка двухслойной плотнейшей упаковки при стандартном выборе кристаллографической системы координат:

Начало системы координат выбрано на оси 63 в центре октаэдрической пустоты (в центре инверсии)

Правильные системы точек d и с отличаются друг от друга лишь тем, что все их точки смещены по оси Z на половину трансляции. Примем за координаты центров шаров в двухслойной упаковке координаты точек правильной системы d. Для октаэдрических пустот выбираем двухкратную правильную систему точек а. Это связано с тем, что группа собственной симметрии октаэдра O_h должна включать в себя группу симметрии частной позиции. В группе Рmc имеются две двухкратные правильные системы точек с нулевыми координатами X и Y: а и b. Им соответствуют точечные группы симметрии позиций Зm = D_3d и 6m2 = D_3h. Октаэдр может размещаться лишь в той позиции, группа точечной симметрии которой является подгруппой О_h — группы симметрии октаэдра. Это означает, что в качестве координат центров октаэдрических пустот мы должны выбрать координаты точек правильной системы а.

Четыре тетраэдрические пустоты должны располагаться по одной из четырехкратных частных правильных систем точек f или е. При выборе конкретной правильной системы учтем, что в двухслойной упаковке центр тетраэдра размещается над центром шара, который является вершиной тетраэдра. Это означает, что координаты X и Y тетраэдрической пустоты должны совпадать с соответствующими координатами X и Y шара. Отсюда следует, что в качестве координат тетраэдрических пустот подходит правильная система точек f.

Данная правильная система точек имеет один параметр — координату Z. Это означает, что мы должны выбрать из бесконечного множества таких правильных систем точек одну с некоторым конкретным значением координаты Z. Это можно сделать из чисто геометрических соображений. Представим фрагмент двухслойной упаковки в виде двух соединенных вершинами тетраэдрических пустот (рис.16).

Рис.16. К определению координаты Z центра тетраэдрической пустоты в двухслойной плотнейшей упаковке

Удвоенная высота тетраэдра равна параметру элементарной ячейки с. Под центром тетраэдрической пустоты мы будем понимать точку пересечения всех зеркально-поворотных осей 4-го порядка точечной группы симметрии тетраэдра. Очевидно, что эта точка совпадает с точкой пересечения всех высот тетраэдра. Решая несложную геометрическую задачу, можно получить, что эта точка пересечения делит высоты тетраэдра в пропорции (1/4) : (3/4) = 1:3. Это означает, что координаты Z центров тетраэдрических пустот отличаются от Z-координат шаров на ±1/8.

Таким образом, мы можем окончательно записать координаты шаров, тетраэдрических и октаэдрических пустот в двухслойной плотнейшей упаковке: