1. Системы кристаллохимических радиусов.

Современная физика часто оперирует такими понятиями, как радиус атома, расстояние между атомами, длина химической связи и т. п. Техника эксперимента позволяет измерить как размеры атомов всех химических элементов, так и расстояния между атомами в различных реальных структурах. Но прежде чем начать анализ взаиморасположения атомов в кристаллах, следует уточнить физический смысл понятий «радиус атома» и «расстояние между атомами».

Атом не представляет собой классическую корпускулу со строго определенным радиусом. Он состоит из компактного массивного ядра и движущихся вокруг электронов. Ядро имеет массу, составляющую более 99,9% всего атома, но относительно малый размер. Эксперименты по рассеянию ускоренных элементарных частиц на атомных ядрах позволили установить, что радиусы ядер всех стабильных атомов лежат в интервале 10^-13 – 10^-12 см. Эксперименты по столкновениям атомов газов показали, что электроны атома занимают в пространстве область размером порядка 10^-8 см (т. е. порядка одного ангстрема). Для более корректного определения радиуса атома следует принять во внимание, что электроны в атоме не являются классическими материальными точками и их движение невозможно описать непрерывной классической траекторией. Поведение электрона в атоме определяется комплексными волновыми функциями. Эти функции, в принципе, позволяют получить пространственное распределение электрона, точнее, функцию электронной плотности ρ(r) — плотность вероятности нахождения электрона в любой точке пространства. При удалении от атомного ядра на расстояние порядка нескольких ангстрем функция ρ(r) убывает экспоненциально или еще более быстро. Поэтому радиус изолированного атома, строго говоря, понятие условное. Только заранее обговорив, каким малым значением функции р(г) мы будем пренебрегать, мы сможем вычислить конкретное значение радиуса атома.

Для определения радиуса взаимодействующих атомов, находящихся в какой-либо конденсированной структуре, следует вначале однозначно сформулировать понятие межатомного расстояния. Расстояние между атомами целесообразно определить как среднее расстояние между центрами атомов. Центром атома является не просто математическая точка, а месторасположение атомного ядра. Заметим, что определение размеров атомов представляет собой довольно сложную проблему экспериментальной физики. С другой стороны, рентгеноструктурный анализ позволяет с большой точностью определить межатомное расстояние в кристаллах.

При любой температуре атомы совершают тепловые колебания. Частота этих колебаний весьма высока (~10¹⁴ c^-1 ), поэтому для геометрического описания структур используются размеры, усредненные по тепловых колебаниям. Межатомное расстояние, измеряемое в экспериментах (рентгеноструктурные исследования, электронная микроскопия, атомная сканирующая микроскопия и т. п.) представляет собой именно усредненное расстояние между центрами атомов.

Рис.1. Схематическая зависимость энергии взаимодействия двух атомов от межатомного расстояния: а — сильная связь (ионная, ковалентная, металлическая); б — слабая связь (ван-дер- ваальсова, водородная)

Величина среднего расстояния между атомами определяется межатомным взаимодействием, т. е. типом химической связи. Любое взаимодействие между двумя атомами можно удовлетворительно описать с помощью функции потенциальной энергии U(r), где r — межатомное расстояние. Для изображения графика функции и (r) обычно начало координат совмещается с центром одного атома, а ось Or направляется через центр другого. Аддитивную постоянную потенциальной энергии удобно выбирать из условия и U (r → ∞) → 0. Это значит, что за начало отсчета энергии выбрана суммарная энергия изолированных атомов (рис. 1).

Функции U(r) для пар атомов различных химических элементов обладают индивидуальными особенностями, но все они имеют общие характерные свойства. Если между атомами существует устойчивая химическая связь, то кривая U(r) имеет минимум в отрицательной области значений. Точка минимума r = r₀ дает равновесное положение второго атома. Таким образом, величина r₀ будет средним межатомным расстоянием d или длиной химической связи (рис.1). При г → 0 каждая функция U(r) неограниченно возрастает. Это означает, что независимо от механизма межатомного взаимодействия (типа химической связи) при сближении атомов возникают силы отталкивания, которые очень резко возрастают при сближении атомов. Расстояние, на котором силы отталкивания становятся преобладающими, определяется перекрыванием волновых функций взаимодействующих электронов.

Когда атом вступает во взаимодействие с другими, т. е. образует химическую связь, то волновые функции его внешних (валентных) электронов претерпевают значительную перестройку. Размер взаимодействующего атома по сравнению с радиусом изолированного может заметно меняется. Экспериментальные исследования структур кристаллов показали, что расстояние d(A, В) между атомами А и В мало зависит от конкретной структуры и, следовательно, и приближенно может служить характеристикой пары атомов данных химических элементов. Сопоставление результатов измерения межатомных расстояний для парных комбинаций атомов разных химических элементов позволяет (в некотором приближении) приписать взаимодействующим атомам определенные эффективные радиусы так, чтобы выполнялось следующее равенство:

d (A, B) = R_A + R_B. (5.2)

Иначе говоря, межатомное расстояние равно сумме радиусов атомов.

Определенные таким образом радиусы называются кристаллохимическими. С удовлетворительной точностью они обладают свойством аддитивности, т. е. будучи однажды вычисленными, они наблюдаются в новых открываемых или синтезированных кристаллических структурах. Однако величины кристаллохимических радиусов сильно зависят от типа химической связи. Поэтому существует несколько наборов эффективных размеров взаимодействующих атомов, которые сводятся в так называемую систему кристаллохимических радиусов.

Развитием представлений о кристаллохимических радиусах занимались многие кристаллографы и геохимики, начиная с В.Л. Брегга, который дал первую систему кристаллохимических радиусов в 1920 г. Значительный вклад в уточнение и развитие системы радиусов был сделан В. Гольдшмидтом и другими исследователями, составившими различные системы кристаллохимических радиусов. Усовершенствование этих систем продолжается и в наши дни.

В простых веществах атомы объединены ковалентными или металлическими связями. Измерения межатомных расстояний d(AA) в структурах простых веществ позволяет определить так называемые атомные радиусы элементов как половины кратчайших расстояний d(AA):

r_{ат =}

Система атомных радиусов представлена в табл. 1.

Таблица1. Атомные радиусы (в ангстремах) химических элементов

Период	Подгруппа
	Iа	IIа	IIIа	IVa	Va	Via	VIIa	VIIIa
2	Li 1.55	Be 1.13
3	Na 1.89	Mg 1.60
4	К 2,36	Са 1,97	Sc 1,64	Ti 1,46	V 1,34	Cr 1,27	Mn 1,30	Fe 1,26	Co 1,25	Ni 1,24
5	Rb 2,48	Sr 2,15	Y 1,81	Zr 1,60	Nb 1,45	Mo 1,39	Tc 1,36	Ru 1,34	Rh 1,34	Pd 1,37
6	Cs 2,68	Ва 2,21	La 1,87	Hf 1,59	Та 1,46	W 1,40	Re 1,37	Os 1,35	Ir 1,35	Pt 1,38
7	Рг 2,80	Ra 2,35	Ac 2,03

Период	Подгруппа
	Ib	IIb	IIIb	IVb	Vb	VIb	Vllb	Vlllb
1							H 0,46	He 1,22
2			B 0,91	С 0,77	N 0,71			Ne 1,60
3			A1 1,43	Si 1,34	P 1,30			Ar 1,92
4	Cu 1,28	Zn 1,39	Ga 1,39	Ge 1,39	As 1,48	Se 1,60		Kr 1,98
5	Ag 1,44	Cd 1,56	In 1,66	Sn 1,58	Sb 1,61	Те 1,7		Xe 2,18
6	Au 1,44	Hg 1,60	Tl 1,71	Pb 1,75	Bi 1,82

Лантаниды и актиниды

Ce 1,83	Pr 1,82	Nd 1,82		Sm 1,81	Eu 2,02	Gd 1,79
Tb	Dy	Ho	Er	Tu	Yb	Lu
1,77	1,77	1,76	1,75	1,74	1,93	1,74
Th	Pa	U	Np	Pu
1,80	1,62	1,53	1,50	1,62

Во всех периодах таблицы Менделеева наблюдается сходная зависимость атомного радиуса от химического номера элемента. Максимальные значения имеют r_ат у щелочных металлов. С увеличением числа внешних электронов атомный радиус резко уменьшается, но в конце периода, особенно у инертных газов, вновь возрастает. Рост атомного радиуса с номером периода также имеет место, однако для большинства подгрупп периодической таблицы он не столь ярко выражен. Это означает, что величина r_ат определяется в большей степени строением внешней электронной оболочки, чем полным числом электронов в атоме.

Ковалентные связи являются направленными, поэтому межатомные расстояния заметно зависят от координационного числа — количества ближайших соседей у каждого атома в данной структуре. Кристаллохимические ковалентные радиусы для тетраэдрической (координационное число 4) и октаэдрической (координационное число 6) координации приведены в табл. 2. Данные таблицы свидетельствуют о том, что для химических элементов 1-й и 2-й групп таблицы Менделеева тетраэдрические радиусы несколько превышают октаэдрические. Для всех остальных элементов, напротив, октаэдрические радиусы заметно превышают тетраэдрические.

Из-за направленного характера ковалентных связей расстояния между одними и теми же атомами в разных соединениях могут несколько отличаться. Особенно сильно зависят межатомные расстояния от кратности связи. Например, для атомов углерода, азота, кислорода и серы сокращение ковалентного радиуса по сравнению с одинарной связью составляют для двойных связей 12-14 %, для тройных — 20-22 %. Для «нецелочисленных» связей длины принимают промежуточные значения.

Таблица 2. Ковалентные октаэдрические радиусы (в ангстремах)

			С 0,97	N 0,95	0 0,9
	Mg	A1	Si	P	S
	1,42	1,41	1,37	1,35	1,30
Cu	Zn	Ca	Ge	As	Se
1,25	1,27	1,35	1,43	1,43	1,40
Ag	Cd	In	Sn	Sb	Те
1,43	1,45	1,53	1,60	1,60	1,56
Au	Hg	T1	Pb	Bi
1,40	1,45	1,73	1,67	1,65
	Mn
	1,31

Для структур с ионной химической связью используют систему кристаллохимических ионных радиусов, также обладающих свойством аддитивности. В случае ионной связи формируются связующие молекулярные орбитали, заселенные валентными электронами катиона и аниона. Максимум электронной плотности этой орбитали приблизительно совпадает с максимумом электронной плотности атомной орбитали валентных электронов аниона.

	Be 1,07	В 0,89	С 0,77	N 0,70	0 0,66
	Mg	A1	Si	P	s
	1,46	1,26	1,17	1,10	1,04
Си	Zn	Ca	Ge	As	Se
1,35	1,31	1,26	1,22	1,18	1,14
Ag	Cd	In	Sn	Sb	Те
1,53	1,48	1,44	1,40	1,36	1,32
Au	Hg	T1	Pb	Bi
1,50	1,48	1,47	1,46	1,46
	Mn
	1,38

Ковалентные октаэдрические радиусы (в ангстремах)

Максимум электронной плотности этой орбитали приблизительно совпадает с максимумом электронной плотности атомной орбитали валентных электронов аниона. При этом образуется сравнительно широкий минимум электронной плотности между максимумом электронной плотности связующей молекулярной орбитали и максимумом ближайшей к ней внутренней орбиталью катиона. В качестве границы между катионом и анионом берется центральная точка этого минимума. На данном принципе после анализа тысяч ионных соединений удалось составить современную систему кристаллохимических ионных радиусов, которая хорошо удовлетворяет требованию аддитивности. Величина ионного радиуса зависит от координационного числа (к. ч.). Часть системы ионных радиусов приведена в табл. 3.

Ион	к.ч.	ri	Ион	к.ч..	ri
Ag+	4	1,14	Мg2+	4	0,71
	6	1,29		6	0,86
	8	1,42		8	1,03
А13+	4	0,53	N3-	4	1,32
	6	0,67	N3+	6	0,30
B3+	4	0,25	N5+	6	0,27
	6	0,41	Na+	4	1,13
Br-	6	1,82		6	1,16
С4+	4	0,29		8	1,32
	6	0,30		12	1,53
Са2+	6	1,14	02-	2	1,21
	8	1,26		4	1,24
	12	1,48		6	1,26
Cl -	6	1,67		8	1,28
Сl7+	4	0,22	P3+	6	0,58
	6	0,41	P5+	6	0,52
Сu+	4	0,74	S2-	6	1,70
	6	0,91	S4+	6	0,51
Сu2+	4	0,71	S6+	6	0,43
	6	0,87	Se2-	6	1,84
F-	4	1,17	Se4+	6	0,64
	6	1,19	Si4+	4	0,40
F7+	6	0,22		6	0,54
I -	6	2,06	Sn4+	4	0,69
I 7+	6	0,67		6	0,83
K+	4	1,51		8	0,95
	6	1,52	Te4+	4	0,80
	8	1,65		6	1,11
	12	1,78	Ti2+	6	1,00
La+	6	1,17	Xe8+	4	0,54
	8	1.3		6	0,62

Общей тенденцией является возрастание ионного радиуса с ростом координационного числа. Радиусы анионов значительно превышают радиусы катионов. Особенно это заметно для элементов, которые участвуют в ионных связях, как в виде катиона, так и в виде аниона (см., например, радиусы атомов галогенов). Для атомов химических элементов с переменной валентностью характерно уменьшение ионного радиуса с ростом заряда иона.

В кристаллах инертных газов и многих органических соединений частицы (атомы или молекулы) объединены слабыми ван-дер-ваальсовскими связями. Анализ множества таких структур позволил построить единую систему аддитивных кристаллохимических радиусов, которые были названы молекулярными (или ван-дер-ваальсовыми). Пологий вид потенциальной энергии для слабой химической связи (см. рис.1) обусловливает возможные отклонения от аддитивности на величины порядка 0,1-0,2 А. молекулярные кристаллохимические радиусы приведены в табл.4.

Таблица 4. Молекулярные (ван-дер-ваальсовы) радиусы атомов (в ангстремах)

Период	Подгруппа
	IVb	Vb	VIb	VIIb	VIIIb
1				H 1,17	He 1,40
2	C 1,70	N 1,58	O 1,52	F 1,47	Ne 1,54
3	Si 2,10	P 1,80	S 1,80	Cl 1,78	Ar 1,88
4		As 1,85	Se 1,90	Br 1,85	Kr 2,02
4			Te 2,06	I 1.96	Xe 2,16

Из табл. 4 следует, что, молекулярные радиусы значительно превышают ковалентные.

3. Принцип плотнейшей упаковки. Одномерная и двумерная упаковки одинаковых шаров

Основной вклад в свободную энергию кристалла дает потенциальная энергия взаимодействия атомов, которая обычно называется энергией кристаллической решетки. Для атомов, образующих вещество в конденсированном состоянии, минимум потенциальной энергии достигается при их сближении на равновесные межатомные расстояния, характерные для данной пары атомов и типа связи манду ними. Эти расстояния можно выразить через соответствующие радиусы атомов.

Если мы пренебрегаем тепловыми колебаниями атомов, то для описания кристаллов можно использовать модель твердых шаров. Основанием для этого приближения являются характерные особенности вида функции потенциальной энергии взаимодействия атомов. Во-первых, кривая U(r) имеет явно выраженный минимум, который соответствует среднему межатомному расстоянию. Во-вторых, при уменьшении межатомного расстояния функция резко и, в принципе, неограниченно возрастает. По этим причинам эффективным приближением кристаллической структуры является замена атомов несжимаемыми шарами, которые касаются друг друга и притягиваются друг к другу. Для кристаллов, образованных, например, атомами благородных газов, радиус таких шаров равен половине равновесного расстояния между ближайшими атомами. Если в кристалле имеются атомы разных сортов, то каждому сорту атомов может быть сопоставлен твердый шар определенного радиуса в соответствии с типов химической связи, которую эти атомы образуют. Такими радиусами могут быть введенные в предыдущем параграфе ионные, ван-дер-ваальсовы и др. радиусы.

Касание твердых шаров соответствует расположению взаимодействующих атомов, которое обеспечивает минимум потенциальной энергии. Следовательно, с наибольшей вероятностью стабильные кристаллические структуры образуются, если каждый атом будет взаимодействовать с большим числом соседних, или, иначе говоря, каждый твердый шар будет касаться большего количества соседних твердых шаров. Таким образом, принцип наименьшей потенциальной энергии взаимодействия атомов может быть в удовлетворительном приближении переформулирован, в принцип максимальности числа касаний твердых шаров, описывающих атомы. При этом отношение объема шаров ко всему объему кристаллического пространства, так называемый коэффициент заполнения, будет максимальным. Упаковки твердых шаров с максимально возможным коэффициентом заполнения называются плотнейшими упаковками. Число касаний шара с соседними называется координационным числом данного шара (атома).

Таким образом, при описании кристаллических структур с ненаправленными связями атомы полагают шарами с некоторыми характерными радиусами, которые располагаются так, чтобы коэффициент заполнения пространства был максимальным. Такой подход к описанию кристаллических структур называется принципом плотнейшей упаковки.

Подчеркнем, что принцип плотнейшей упаковки является лишь геометрическим принципом и его недостаточно для полного описания атомных структур кристаллов. Однако подход к описанию структур и связанная с ним терминология оказались настолько эффективными, что он широко применяется к описанию и систематике не только кристаллических структур, состоящих из атомов с ненаправленными химическими связями, но и в более общих случаях.

Рассмотрим плотнейшие упаковки одинаковых твердых шаров. Одномерная плотнейшая упаковка представляет собой линейнуюпериодическую цепочку шаров с периодом, равным диаметру шара. При этом координационное число шара равно двум.

Двумерная плотнейшая упаковка шаров может быть выложена единственным способом (рис.2).

Из рис. 2 видно, что эта упаковка представляет собой двумерную периодическую структуру с гексагональной симметрией. Каждый шар касается шести соседних, т. е. имеет координационное число, равное шести. Плоская элементарная ячейка представляетсобой ромб со стороной, равной диаметру шара. Между шарами в слое образуются пустоты, каждая из которых образована тремя соседними взаимно касаюшимися шарами. Описанную упаковку твердых шаров на плоскости будем называть плотноупакованным слоем.

Рид. 5.2. Плотнейшая упаковка шаров на плоскости и график ее группы сим­метрии

Характеристикой любой упаковки является ее плотность заполнения пространства — предел отношения заполненного объема ко всему выделенному объему при стремлении последнего к бесконечности. Нетрудно вычислить, что в случае двумерной упаковки плотность заполнения двумерного пространства равна π/(2√3), т. е. приблизительно 0,907. Ясно, что в двумерном пространстве твердые шары необходимо заменить жесткими кругами.

Запишем группу симметрии двумерной плотнейшей упаковки одинаковых шаров. Из рис.2 видно, что через центр каждого шара проходит ось симметрии 6-го порядка, через центр каждой пустоты — ось 3-го порядка, а через центры соседних шаров — зеркальные плоскости симметрии. Приняв наряду с трансляциями эти операции симметрии за генераторы, нетрудно убедиться, что симметрия плотнейшей упаковки одинаковых твердых шаров на плоскости характеризуется двумерной группой, которую обозначим символом p6mm. График этой группы симметрии изображен на рис.2 на фоне изображения шаров двумерной плотнейшей упаковки.

Нетрудно вычислить, что в одном слое на двумерную элементарную ячейку приходится один шар. Действительно, элементарный ромб образован четырьмя шарами, но каждый шар принадлежит четырем ячейкам. Из рис.2. видно, что в элементарной ячейке содержится две трансляционно-неэквивалентные пустоты. Следовательно, в бесконечном плотноупакованном слое на каждый шар приходится по две пустоты.