- •Глава I. Множества, отображения и функции
- •Глава II. Введение в теорию векторных пространств.
- •1. Множества, отображения и функции
- •1.1. Множества. Общие понятия
- •1.2. Числовые множества.
- •1.3. Отображения
- •1.4. Композиция отображений. Обратные отображения.
- •2. Геометрические векторы. Основные определения
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Числовые матрицы.
- •Определитель матрицы.
- •1. Понятие определителя
- •2. Правило Сарруса для квадратных матриц 3 порядка.
- •3. Свойства определителей
- •1. Равноправность строк и столбцов.
- •2. Антисимметрия при перестановке двух строк.
- •3. Линейное свойство определителя.
- •Обратные матрицы. (Возвращение в линейную алгебру)
- •Сумма двух подпространств.
- •1 Критерий базиса.
- •3Критерий базиса.
- •Замена базиса и преобразование координат векторов при замене базиса.
- •Матрица гомоморфизма. Координатная запись гомоморфизма.
2. Простейшие операции над векторами
К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.
1) Сложение векторов.
Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и, необходимо конец векторасовместить с началом. Вектор, соединяющий точкии, будет их суммой.
Обозначается сума следующим образом: . Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторовисовмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.
Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством
.
Если слагаемых больше, например, три: , поступают следующим образом. Строят вначале сумму, а затем, прибавляя, получают вектор.
Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале , а затем прибавить, то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:
.
Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору . Очевидно,.
2) Разность векторов.
Определение 2. Разностью двух векторов иназывается такой вектор, сумма которого с вычитаемымдает вектор.
Значит, если , то.
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы и. Векторсоединяет концы векторовии направлен от вычитаемого к уменьшаемому.
Видно, что если на векторах ипостроить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.
3) Умножение вектора на число.
Определение 3. Произведением вектора на числоназывается вектор, определенный следующими условиями:
1) ;
2) вектор коллинеарен вектору;
3) векторы инаправлены одинаково, если, и противоположно, если.
Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения векторана. Отсюда,.
Из определения 3 следует, что если , то векторыиколлинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.
Определение 4. Любые два вектора иколлинеарны, если связаны соотношением, где- некоторое число.
Величину можно определить из отношения. Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.
Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:
;
и сочетательным свойством
.
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Обозначаются единичные векторы символами или.
Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: .
Числовые матрицы.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы. Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]» или двойными прямыми линиями "||…||"). Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной (к примеру a11 является элементом матрицы А). У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (aij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размера », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,
|
История
Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрасссу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.
Операции над матрицами
Пусть aij — элементы матрицы A, а bij — элементы матрицы B.
Линейные операции:
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
bij = λaij
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij
Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой
cij = aij - bij
Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.
Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
A + Θ = A
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Нелинейные операции:
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
Транспонирование матрицы (обозначение: AT) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть
Если A — матрица размера , то AT — матрица размера
Свойства операций над матрицами
Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
Коммутативность сложения: A + B = B + A.
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
Свойства операции транспонирования матриц:
(AT)T = A
(AB)T = BTAT
(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.
Квадратная матрица и смежные определения
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно
EA = AE = A
У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю
Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A - 1 такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:
AA − 1 = E
Общее определение абстрактного векторного пространства.
V ≠ ;a, b, c є V; P-числовое поле.
Пусть: 1. Задана операция ∆, которая каждому a є V и каждому λ є P ставит в соответствие элемент λ∆a є V.
2. ∀ a,b є V задана операция □, которая каждой упорядоченной паре a,b є V ставит в соответствие единственный элемент a□b є V.
При этом выполняются 8 свойств (аксиом).
1. a□(b□c)=(a□b)□c
2. Ǝ z є V | ∀ a є V |a□z=z□a=a
3. ∀ a Ǝ n | n□a=a□n=z
4. a□b=b□a
5. (α+β)∆a=(α∆a)□(β∆a)
6. α∆(a□b)= (α∆a)□(α∆ b)
7. α∆(β∆a)= (αβ)∆a
8.1∆a=a
∀ a, b є V; α,β є P; 1 є P
Тогда множество V называется векторным пространством над полем Р, операция □=+, ∆=умножение вектора на число, z-единичный элемент=0, а его элементы-векторы.
Перестановки и подстановки из n символов.
Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 2, 2 1, 4 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
.
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
,
где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения равен (- 1)q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.