Экстраполяция.

Основная задача экстраполяции - нахождение значения таблично заданной функции в точках за пределами заданного интервала.

При проведении ручного счета для экстраполяции назад рекомендуется использовать первую интерполяционную функцию Ньютона, а для экстраполяции вперед – вторую интерполяционную формулу Ньютона.

В MathCAD принципиальной разницы между интерполяцией и экстраполяцией нет, поэтому для вычислений используют те же встроенные функции, однако во избежание грубых ошибок это делают только близи границ интервала данных. Удовлетворительную точность при экстраполяции обеспечивает встроенная функция предсказания predict, которую можно применять для большинства задач прогнозирования.

Фильтрация и сглаживание.

Задача фильтрации данных заключается в устранении одной из составляющих зависимости y(x_i). Если цель фильтрации – подавление «быстрых», высокочастотных, вариаций, то зависимость сглаживается, происходит переход к новому набору значений y_i, и в обновленной зависимости y*(x_i) доминирует низкочастотная составляющая. В MathCAD это реализуется встроенными функциями medsmooth, ksmooth, supsmooth.

Реже решается обратная задача, когда в ходе фильтрации требуется устранить медленно меняющиеся, низкочастотные вариации. Такая задача называется задачей устранения тренда. Решается она «вычитанием» сглаженного варианта зависимости y*(x_i) из исходного y(x_i).

Аппроксимация.

Задача аппроксимации – построение приближенной функции, наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Задача возникает при наличии погрешностей в исходных данных или при необходимости получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется критерием аппроксимации. Наиболее распространен квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от заданных R=_i(y_i-y_i^расч)² , где

y_i - заданные табличные значения функции; y_i^расч - расчетные значения по аппроксимирующей функции; _i - весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i–й точки. Квадратичный критерий обеспечивает дифференцируемость и единственность решения задачи аппроксимации при полиноминальных аппроксимирующих функциях.

В ходе аппроксимации выделяют две основные задачи:

-получение аппроксимирующих функций, описывающей исходные данные с погрешностью не хуже заданной;

- получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наименьшей возможной погрешностью.

Основными методами аппроксимации являются метод наименьших квадратов (МНК) и метод равномерного приближения. Задача МНК сводится к поиску коэффициентов b₀ и b₁ аппроксимирующей функции из условия минимальности суммы квадратов отклонений этой функции в данных точках от табличных значений

S(b₀,b₁)=(b₀+b₁x_i-y_i)²min

При проведении ручного счета используют метод неопределенных коэффициентов, когда степень аппроксимирующего полинома выбирается на единицу меньше числа узлов интерполяции, а неизвестные коэффициенты полинома определяют, решая соответствующую систему уравнений. Процедура аппроксимации реализуется средствами регрессионного анализа данных.