Лабораторная работа №2
Приемы вторичной математической обработки данных.
Цель работы. Получить практические навыки в освоении некоторых приемов вторичной математической обработки данных в среде пакетов MathCAD и Excel.
Краткие сведения из теории
Вторичная математическая обработка данных проводится после первичной обработки в том числе, если результатов первичной обработки для исследователя по какой-либо причине оказывается недостаточно.
К основным задачам, решаемым в ходе вторичной математической обработки данных, принято относить:
1.прогнозирование результатов измерений без построения математических соотношений между элементами массива данных на основании предположения о существовании определенной устойчивой связи между ними;
2. исследование массивов данных с целью установления характера и математической формы связи между их элементами, т.е. построение экспериментальных математических моделей формально-статистическими методами;
3.исследование уже полученных математических моделей объектов с целью их оптимизации или решение на их основа других задач.
Для решения задач первого типа необходимо использовать приемы интерполяции, экстраполяции, фильтрации и сглаживания.
Задачи второго типа решают с привлечением математического аппарата основных видов статистического анализа (корреляционного, дисперсионного, регрессионного) и практических приемов аппроксимации.
В задачах третьего типа доминирующую роль играют математические методы оптимизации и приемы дифференцирования и интегрирования.
Интерполяция.
Основная задача интерполяции – нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана или не может быть рассчитана аналитически.
В ходе интерполяции исходная функция f(x), заданная таблично, заменяется другой – интерполяционной L(x), приближенной к исходной и проходящей через заданные точки – узлы интерполяции. С помощью интерполяционной функции можно рассчитать искомое значение исходной функции в любой точке внутри данного интервала.
В связи с интерполяцией рассматриваются три главные проблемы:
- выбора интерполяционной функции L(x);
-оценки погрешности интерполяции R(x);
- размещения узлов интерполяции x1,x2, x3 и т.д. для обеспечения наибольшей возможной точности восстановления исходной функции;
Основным преимуществом интерполяции является то, что она позволяет определить искомое значение функции без непосредственного прямого построения интерполяционной функции.
В качестве интерполяционной функции L(x) чаще всего выбирают степенной полином, поскольку он наиболее удобен для математической обработки и всегда может быть представлен как усеченный ряд Тейлора, в который разложили исходную дифференцируемую функцию f(x). Кроме того, важно, что полином n-ой степени, содержащий n+1 параметр и проходящий через n+1 точки – единственный, и это обеспечивает хорошую формализацию задачи.
Иногда исходная функция интерполируется тригонометрически, показательной и другими функциями и их комбинациями. «Очевидный» способ построения интерполяционной функции, когда из условия прохождения функции через все точки массива составляется система уравнений, позволяющая найти ее параметры, не всегда эффективен (особенно при большом количестве точек).
К основным методам интерполяции традиционно относят методы Лагранжа, Ньютона и метод сплайнов.
Для метода Лагранжа
Ln(x)=y0Q0(x)+…+yjQj(x)+…ynQn(n),
где i=0,n-точки исходной функции,
Qj(x)=
Для метода Ньютона
P1n(x)=y0+t∆y0+
где t= ; h= ; ∆y0, ∆2y0, ∆3y0- конечные разности 1,2,3 и т.д. порядка в точке x0.
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона и рекомендуется при интерполяции вперед
P2n(x)=yn+t∆yn+1
где ∆kyi – конечная разность k-го порядка в точке xi.
Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона и рекомендуется при интерполяции назад.
Сплайн – это функция, которая на каждом межузловом интервале совпадает с некоторым полиномом. Полиномы соседних интервалов стыкуются так, чтобы функция и несколько ее производных были непрерывны в узлах интерполяции.
К основным видам интерполяции относят линейную и сплайновую. В случае проведения линейной интерполяции интерполирующая зависимость состоит из отрезков прямых, соединяющих точки-узлы интерполяции.
Поскольку в большинстве практических задач желательно соединять экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой, чаще всего применяют интерполяцию сплайнами. В MathCAD для этого используют встроенную функцию interp и lspline, pspline и cspline соответственно. В Excel для решения задач интерполяции используют возможности формирования рядов данных и Мастера диаграмм.
Двумерная интерполяция сплайнами приводит к построению поверхности z(x,y), проходящей через массив точек на плоскости xOy. Поверхность создается участками двумерных кубических сплайнов, являющихся функциями x и и имеющие непрерывные первые и вторые производные по обеим координатам. Проведение двумерной интерполяции требует предварительного упорядочения данных.