Задачи к разделу V:

1. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8 и после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятности событий:

   1. все три раза промах;

   2. хотя бы одно попадание;

   3. два попадания.

2. Батарея, состоящая из K орудий, ведет огнь по группе, состоящей из L самолетов (KL). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все K орудий будут стрелять по одной и той же цели.

3. Цифры 1, 2, 3, 4, 5 располагаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что первой окажется четная, а последней – нечетная цифра?

4. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для одного стрелка равна 0,7, для другого – 0,6. Найти вероятности событий:

а) только один из стрелков попал в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попал в мишень;

в) оба стрелка поразили мишень;

г) ни один из стрелков не попал в мишень;

д) хотя бы один из стрелков не попал в мишень.

5. Студент пошел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы, и получил 2 вопроса, наудачу выбранных из 25. Найти вероятность того, что студент знает оба этих вопроса.

6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для одного стрелка равна р, для второго 0,7. Вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти р.

7. Три стрелка, у которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Найти вероятность того, что:

а) мишень будет поражена более одного раза;

б) мишень будет поражена не более одного раза.

8. В урне лежат 5 черных шаров, 4 красных и 3 белых. Последовательно вынимают три шара, причем каждый шар возвращается в урну перед тем, как вынимается следующий. Найти вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным, третий – белым.

9. Студент сдает экзамен до первой удовлетворительной оценки, но не более трех раз. Вероятность сдать экзамен с первой попытки равна 0,5. Вероятность сдать экзамен со второй попытки (после неудавшейся первой) равна 0,7, с третьей (после неудавшихся первой и второй) – 0,7. Какова вероятность: а) сдать экзамен? б) провалить экзамен?

10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

11. По железнодорожному мосту, независимо один от другого, производят серийное бомбометание три самолета. Каждый самолет сбрасывает одну серию бомб. Вероятность попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолета равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если для разрушения достаточно хотя бы одного попадания.

12. Определить, какова вероятность, что все члены группы, состоящей из трех лиц разного возраста, проживут ближайшие 10 лет, если вероятность прожить 10 лет для первого лица равна 0,95, для второго лица – 0,93 и для третьего – 0,89.

13. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

14. В цехе работают две мясорубки. Цех прекращает работу досрочно при поломке одной из мясорубок. Вероятность поломки каждой – 0,2 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что цех прекратит работу досрочно.(

Вероятность этого события равна произведению вероятностей того, что они не поломаются (так как события независимые)

Вероятность того, что первый не поломается p_1 = 1 - 0,21 = 0,79

Вероятность того, что второй не поломается p_2 = 1 - 0,18 = 0,82

p_{12}= p_1*p_2 =\frac{79}{100}*\frac{82}{100} = \frac{6478}{10000} = 0.6478

15. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Какова вероятность того, что монету придется подбрасывать: а) ровно 5 раз; б) не менее 5 раз; в) не более 5 раз?

16. Игральная кость брошена пять раз. Найти вероятность появления одной и более «1».

17. Куплены два холодильника. Вероятность того, что каждый из них выдержит гарантийный срок службы равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока:

а) оба холодильника не потребуют ремонта;

б) только один из них потребует ремонта;

в) хотя бы один не потребует ремонта.

(Холодильники выходят из строя независимо друг от друга).

18. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает их до первого попадания. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,1 и не зависит от результата предыдущих бросков. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным.

19. Из букв разрезной азбуки составили слово КОМБИНАТОРИКА. Не умеющий читать ребенок перемешал буквы этого слова и составил из них «слово» из четырех букв. Какова вероятность того, что этим словом оказалось слово кино?

20. В случайном порядке в ряд располагают 5 белых, 7 черных и 3 оранжевых шара. Найдите вероятность того, что на 1-м и 5-м местах в этом ряду будут белые шары, а на 15-м месте – оранжевый шар.

21. Студент пришел на зачет, зная ответы на 24 из 30 вопросов. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос? Зачет выставляется за один правильный ответ.

22. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Выстрелы независимы, вероятность попадания при каждом выстреле одинакова. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

23. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наугад извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара одного цвета; б) хотя бы один шар белый.

24. Для того, чтобы сбить самолет достаточно одного попадания. Было сделано три выстрела с вероятностями попадания 0,1; 0,2 и 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что самолет сбит?

25. Серия после-матчевых пенальти состоит из 10 ударов. На момент нанесения семи ударов выигрывает 1-я команда со счетом 3:2 (первый удар наносила 1-я команда). Вероятность точно пробитого пенальти 1-й командой – 0,6, 2-й – 0,8. Найти вероятность того, что на момент нанесения 10 ударов 1-я команда не проиграет.