Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.

Существуют опыты, обладающие симметрией возможных исходов (случаев). Про сам опыт говорят, что он сводится к схеме случаев. Случаи должны удовлетворять трем следующим условиям:

1. Они должны быть несовместны (т.е. два случая не могут произойти одновременно);

2. Они должны образовывать полную группу событий (т.е. опыт должен заканчиваться одним из случаев);

3. Они должны быть равновозможными (т.е. возможности появления ни одного из случаев нельзя отдать предпочтение).

Вероятность события А определяется как отношение числа случаев, составляющих событие А, к общему числу случаев:

Пример 1: В урне a - белых, b - черных шаров. Наугад берут один шар. Найти вероятность событий A={шар белый} и B={шар черный}.

Решение: Пронумеруем шары, что бы их различать. Пусть № 1, 2, …, a – номера белых шаров, № a+1, a+2, …, a+b – номера черных шаров. Возьмем за случай событие ={изъят шар с № i} (i=1, 2, …, a+b). Очевидно эти события удовлетворяют всем вышеперечисленным трем свойствам. Всего случаев a+b. Число случаев благоприятных событию A равно a, благоприятных событию B – b. Таким образом N= a+b, m_A=a, m_B=b.

.

Пример 2: В урне a - белых, b - черных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что один из шаров будет белый, а другой черный.

Решение: Найдем вероятность события A={один из вынутых шаров белый, другой черный}. Пронумеруем шары также как в предыдущей задаче. Рассмотрим событие ={вытащили два шара с номерами i и j} (i, j=1, 2, …, a+b, i≠j). Очевидно они образуют полную группу несовместных событий. Также эти события равновозможные. Действительно, шансы вытащить шары с номерами, к примеру, «1» и «3», точно такие же как и у шаров с номерами, к примеру, «2» и «6». Таким образом, события  можно считать случаями. Подсчитаем общее число случаев. В данной задаче случаи это комбинации, состоящие из двух шаров, выбранных из общего числа шаров a+b. Поскольку порядок в котором были выбраны два шара один за другим здесь не важен, то эти комбинации отличаются друг от друга только составом, что по определению является сочетанием. Тогда число случаев равно числу сочетаний из общего числа шаров a+b по 2 шара:

Благоприятными случаями являются те комбинации, в которые входят один белый и один черный шары. Подсчитаем число таких комбинаций. Один белый шар можно выбрать a способами. Один черный шар можно выбрать b способами. Тогда число комбинаций в которых один шар белый, другой черный равно m_A=ab.

.

Пример 3: В урне a - белых, b - черных шаров. Из урны вынимают сразу n (n < a+b) шаров. Найти вероятность того, что из них m (m < a) шаров будут белые, а остальные n- m черные.

Решение: Найдем вероятность события A={из вынутых n шаров m белых, остальные n-m черные}. Возьмем за случай событие ={вытащили n шаров с номерами i₁, i₂, …, i_n} (i₁, i₂, …, i_n =1, 2, …, a+b, i₁≠i₂≠…≠i_n). Так как порядок в котором были вытащены шары не важен, то на случаи можно смотреть как на сочетания. Тогда общее число случаев равно . Подсчитаем число благоприятных случаев. Из всех комбинаций (случаев) поn шаров нужно выбрать те, в которых m белых шаров и n-m черных. Число таких комбинаций равно произведению числа комбинаций, составленных из m белых шаров, выбранных из общего числа белых шаров , на число комбинаций, составленных изn-m черных шаров, выбранных из общего числа черных шаров :m_A=. Тогда

Пример 4: В ящике N деталей. Из них n бракованных. Наугад из ящика берут K деталей, а затем из этих K деталей также наугад берут одну деталь. Найти вероятность того, что эта деталь бракованная.

Решение: Найдем вероятность события A={деталь бракованная}. Для того чтобы различать детали присвоим каждой из них номер. Пусть № 1, 2, 3, …, n – бракованные детали, № n+1, n+2, …, N – годные детали. Возьмем за случай событие _i={взятая из K деталей деталь имеет № i (i=1, 2, …, N)}. Очевидно эти события несовместны (деталь может иметь только один номер), образуют полную группу событий (опыт обязательно закончится одними из событий _i) и равновозможны (шансы быть вытащенной у каждой детали одинаковы). Всего случаев N, благоприятных событию А только первые n из них. Тогда P(A)=n/N.

Пример 5: При наборе телефонного номер абонент забыл две последние цифры и набирал их наугад, помня только, что эти цифры нечетные и различные. Какова вероятность того, что номер набран верно?

Решение: Выпишем нечетные цифры: 1; 3; 5; 7; 9 – их пять. Телефонный номер должен заканчиваться на 2 цифры, взятые из этого ряда. Для определенности пусть это будут цифры «7» и «9», т.е. номер телефона оканчивается «79». Тогда интересующее нас событие A={последние две цифры, набранные абонентом, «79»}. Случай состоит в наборе двух неповторяющихся нечетных цифр. Подсчитаем общее число случаев. В данной задаче важно не только какие две цифры были набраны, но и в каком порядке. Таким образом общее число случаев равно числу размещений из 5 цифр по 2: . Благоприятных случаев только 1:m_A=1. Тогда .

Пример 6: Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадет в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажутся три шарика, в другой один, а в двух остальных шариков не будет.

Решение: Пронумеруем лунки: 1, 2, 3, 4. За случай возьмем событие ={первый шарик попал в i-ую лунку, второй в j-ую, третий в k-ую, четвертый в l-ую} (i, j, k, l =1, 2, 3, 4). Тогда случай можно записать как комбинацию из четырех цифр 1, 2, 3 и 4 в которой цифры могут повторяться ={ijkl}. Порядок расположения цифр здесь важен, поскольку место под цифру определяет номер шарика. Подсчитаем число таких комбинаций. Первую позицию этой комбинации можно заполнить любой из четырех цифр n₁=4. Вторую позицию, поскольку цифры повторяются, также можно заполнить любой из четырех цифр n₂=4. Аналогично n₃=n₄=4. Тогда общее число комбинаций (случаев) определяется перемножением способов заполнения четырех позиций: . Подсчитаем число благоприятных случаев. СобытиеА={В одной из лунок оказались три шарика, в другой один, а в двух остальных шариков не оказалось} соответствует тем комбинациям, в которых три цифры одинаковые и одна отличная от них. Составим такие комбинации. Вначале выберем позицию под неповторяющуюся цифру. Это можно сделать четырьмя способами n₁=4. Затем заполним эту позицию одной из четырех цифр n₂=4. Затем оставшиеся три позиции заполним одной из трех оставшихся цифр n₃=3. Тога число таких комбинаций (благоприятных случаев) равно