2.1.Введение

П

Переходные процессы, протекающие в линейных цепях, такжеУкак

и стационарные, подчиняются законам Кирхгофа, которые позволяют

установить связь между э.д.с., действующей в некоторой ветви цепи и

током в любой ветви [11].

Н

Записанные для цепи уравнения Кирхгофа обычноТприводятся к

линейному дифференциальному уравнению, порядок которого зависит

И

.

от числа реактивных элементов и сложности цепи.

Изучить процесс,

возникающий в цепи под действием э д с , озна-

Ю

чает найти решение уравнения и исследовать его поведение вдоль всей

временной оси.

Э

.

Если по истечении некоторого времени с момента начала действия

И

э.д.с. на цепь в ней устанавливается стационарный режим, отличный от

стационарного режима, имевшегосяНдо начала действия э.д.с., то это

время,

определяющее

длительность

переходного процесса,

называют

О

временем установления. Характер переходного процесса и величина

времени установления часто являются гла ными факторами, от которых

о

зависит правильность функциониро ания радиотехнического устройст-

ва.

н

Как уже говорилось, связь междувт к м любой ветви цепи и дей-

ствующей э.д.с. устанавливается дифференциальным уравнением, кото-

Э

а

рое в общем случаеЭвыглядит так:

Пd ni

d n−1

di

р

. K

с+... + a

a

+ a

+ a i = e(t),

(4.1.1)

ц

n dtn

n−1 dtn−1

1 dt

0

a

К

о

где

(K = 0, 1, 2,...n) – постоянные коэффициенты, зависящие от вели-

чины элементов цепи, i – ток в цепи, e(t)– внешняя э.д.с. произвольного

вида.

Известно, что решение уравнения (4.1.1) может быть представлено

в форме суммы

i(t) = i1(t) +i2 (t).

(4.1.2)

Здесь i2(t) – частное решение уравнения с правой частью, в качест-

,

ве которого обычно принимается стационарное (вынужденное) реше-

У

ние, определяющее связь между i(t) и e(t) в установившемся режиме;

i1(t) – решение однородного уравнения (правая часть равна нулю), опре-

деляющее переходной процесс в цепи.

П

Если цепь такова, что i1

(t) ≠ 0 , то можно указать временной интер-

Т

вал limi (t) = 0 конечной величины, по истечению которого с момента

t→∞ 1

начала действия э.д.с. в цепи практически установится стационарный

режим.

Н

Поскольку i1(t) есть решение уравнения без правой части, то дли-

тельность переходного процесса не зависит от интенсивности и харак-

.

тера входного воздействия, а определяется свойствами цепи Характер

переходного процесса также существенно зависит от свойств цепи

Н

Возможность представления решения уравнения (4.1 1) в виде

(4.1.2) опирается на основное свойство линейных цепей, выражающееся

в принципе суперпозиции.

Э

И

.

Найти решение (4.1.2) можно и с помощью других способов, осно-

И

ванных на принципе суперпозиции. Так, э.д.с. сложной формы удобно

рассматривать как образованную в результате сложенияЮэлементарных

э.д.с. некоторой основной формы. Находя переходный процесс, вызван-

ный действием всех элементарных э.д.с., образующих данную сложную

го

э.д.с., и затем суммируя полученные результаты, оказывается возмож-

ным нахождение всего переходн

пр цесса.

П

н

Оот вида элементарныхвэ.д.с. и особенностей вычис-

В зависимости

ления результирующего переход

пр цесса различают ряд методов

анализа. ОсновныеЭиз них –

пектраль ый метод, основанный на преоб-

Э

а

разовании Фурье, операторный, и пользующий преобразование Лапласа

и временной метод, основ нный на интеграле Дюамеля.

.

решения

Перечисленные методысво многих случаях существенно упрощают

нахождение

у внения (4.1.1). Развитие этих методов привело

К

к тому, что каждый из них позволяет на своем языке характеризовать

о

существенные для п актики свойства цепей без обращения к их диффе-

ренциальным уравнениям. Это обеспечило широкое распространение

цэтим методам и позволяет говорить о них, как об основных методах

2.2. Анализ переходных процессов методом решения линейных

дифференциальных уравнений

,

2.2.1. Основные выражения

У

Метод решения линейных дифференциальных уравнений, или так

называемый классический метод, основан на отыскании решения вида

(4.1.2) для уравнения (4.1.1).

Н

П

Так, при подключении э.д.с, e(t) к последовательно соединенным

индуктивности L , емкости С и активному сопротивлениюТR, на основа-

И

нии второго закона Кирхгофа получаем уравнение

di

1

Н

Ю

L dt + c ∫idt

+ Ri

= e(t),

.

.

которое приводится к линейному дифференциальному уравнению вто-

рого порядка

И

d 2i

di

i

de(t)

′

L

dt2

Э+ R +

=

= e (t).

(4.2.1)

C

dt

dt

о

Согласно выражению (4.1.2) решение этого уравнения записывает-

ся в виде

О

н

в

Э

Э

с

i

= i1

+i2.

(4.2.2)

а

рассматривается условно

То Песть, процесс, прои ходящий в цепи,

.

р

состоящим из двух п оцессов — вынужденного, который наступил как

ц

бы сразу (ток i2), и свободного, наблюдающегося только во время пере-

К

ходного процесса (ток i1). Уместно отметить, что в рассматриваемой це-

о

пи физически существует только один ток i, а его представление в виде

суммы токов i1 и i2 является удобным приемом, облегчающим расчеты

при данном методе анализа.

Известно, что в результате интегрирования уравнения (4.2.1), или в

В общем случае уравнения (4.1.1) для n постоянных интегрирова-

ния A1, A2 , A3 ,…, An

c учетом n начальных условии составляют дополни-

тельно n уравнений, из которых находятся постоянные интегрирования.

После этого окончательно может быть найден вид решения (4.1.2) или в

данном случае, решения (4.2.2).

,

Если анализируемая цепь содержит

несколько взаимосвязанных

У

контуров, то при составлении дифференциального уравнения удобно

пользоваться методом контурных токов. Сначала образуется система из

m уравнений относительно m неизвестных контурных токовП. Порядок

каждого уравнения не выше второго. Если в контуре сложной цепи име-

Т

ется несколько индуктивностей и емкостей, то они могут быть сведены

(например, заменой двух емкостей одной эквивалентной) к одной неза-

висимой емкости и одной индуктивности.

Затем путем исключения всех токов, кромеНодного интересующего,

получают одно дифференциальное уравнение порядка n ≤ 2.m относи-

тельно выбранного тока. Порядок уравнения равен числу независимых

И

реактивных элементов (накопителей энергии) в цепи

Хотя процесс анализа переходных явлений методом решения диф-

Н

ференциальных уравнений достаточно наглядно вскрывает физические

.

Ю

процессы в цепи, этот метод оказывается громоздким для случая слож-

ных разветвленных цепей, когдаЭопределение постоянных интегрирова-

ния связано с составлением и решением системыИиз n уравнений. Нахо-

ждение же этим методом перех дных пр

в простейших цепях не

вызывает трудностей и способствует п ниманию физических явлений.

О

цессов

Убедимся в этом на ряде пример в,

встречающихся на практике.

Э

часто

2.2.2. Включение цепи R, C

постоянное напряжение

П

на

с

Пусть в момент t = 0 цепь, состоящая из последовательно соеди-

ненных активного соп отивления R и не заряженной емкости C, под-

Э

а

ключается к источнику постоянного напряжения E (рис. 4.1). Наличие

.

в данной цепи связано с тем, что при весьма

переходного

процесса

кратковременном ("мгновенном") изменении внешнего воздействия

ц

о

энергия поляКконденсатора не может измениться мгновенно. Действи-

тельно, при скачкообразном изменении запаса энергии в цепи мощ-

,

uR (t)

uC (t)

У

Рис. 4.1. RC-цепь

Энергия электрического поля емкости

П

W = CuC2 .

Т

Э

2

Поэтому условие отсутствия скачкообразного изменения энергии

Н

означает, что в цепи R, C напряжение на емкости

uC скачком изменять-

ся не может.

.

Выясним законы изменения напряженияИна элементах схемы во

времени, то есть найдем характер переходного процесса На основании

второго закона Кирхгофа для даннойНцепи при t = 0 имеем

.

Ю

uR

+uC = E,

И

(4.2.3)

где uR и uC

Э

– соответственно падение напряжения на сопротивлении и

напряжение на емкости C. С

ключения цепи начинается заряд

О

в

i = C

duC

, a

конденсатора через актив ое

пр тивление. Ток в цепи

dt

Э

о

= iR = CR duC .

напряжение на сопротивлении u

R

dt

П

момента

с

Тогда вы ажение (4.2.3) принимает вид

Э

а

.

uC

E

ц

р duC

+

=

.

(4.2.4)

RC

К

dt

RC

о

Общее решение полученного линейного дифференциального урав-

нения первого порядка (4.2.4) представим аналогично выражению

(4.2.2) в виде суммы напряжений на емкости uC1 – для свободного про-

цесса и uC 2

– для вынужденного процесса в цепи

37

uC

= uC

+uC .

(4.2.5)

1

2

Напряжение

u должно быть равно напряжению источника E к

C

,

концу переходного процесса, так как конденсатор зарядится до напря-

жения E при t → ∞. Напряжение u

есть решение однородного уравне-

ния

C1

У

duC

+

uC

= 0,

П

1

1

dt

RC

т.е. имеет вид uC

Т

= Ae,

1

где A – постоянная интегрирования, а τ = RC – постоянная времени цепи

заряда конденсатора, т.е. время, за которое напряжениеНuC1

уменьшается

в e = 2,7 раз. Зная выражение для uC1

, подставим его в равенство.(4 2.5)

и получи решение уравнения (4.2.4).

И

−t/τ

(4.2.6)

uC = AeН+ E.

.

Ю

Постоянная A определяетсяЭиз начальных условий для данной цепи,

заключающихся в том, что при t = 0,

uC

= 0, так как в момент включе-

И

ния цепи напряжение на конденсат ре скачком измениться не может в

силу непрерывного характера изменения энергии электрического поля

О

в

конденсатора. Таким образом, при t =

0 из (4.2.6) имеем 0 = A + E т.е. A

= -E и

Э

о

н

П

−t/τ

,

uC = −Ee

1

с

−t /τ

Э

).

а

uC = E(1−e

.

Напряжение на конденсаторе в процессе его заряда возрастает no

экспоненциальномурзакону, приближаясь к величине E тем быстрее, чем

меньше постоянная времени цепи τ .

Теоретически uC = E при t = ∞.

ц

К

о

Однако на практики вводят понятие времени установления стационар-

0.05 = e−ty /τ ,

У

или

,

П

ty =τ ln 20 3τ.

Время установления также часто определяется как разность момен-

тов времени t2 и t1,

т.e. ty = t2 −t1

. Здесь в моменты t1 и t2 напряжение на

Н

емкости достигает соответственно значений 0.1E

и 0,8ТE, т.е. имеют ме-

сто равенства

И

.

0.1E = E(1−e−t1 /τ ),

Н

0.9E = E(1−e

−t2

/τ

),

Э

.

откуда определяется время установления

И

Ю