k3

= hf2(xi + h/2, y1,i + m2/2, yi + k2/2),

,

m4 = hf1(xi + h, y1,i + m3, yi + k3),

У

k4 = hf2(xi + h, y1,i + m3, yi + k3),

П

xi+1 = xi + h,

где h – шаг интегрирования. Начальные условия при численном интег-

рировании

учитываются на

нулевом шаге: i = 0, x = x0, y1 = y10,

Н

.

y = y0.

Т

И

Ю

1.6. Введение в операторный метод

Э

.

И

Для выполнения умножения, деления, возведения в степень и из-

влечения корня из многозначных чиселНцелесообразно пользоваться ло-

гарифмами.

О

в

Операция умножения сводится к сложению, а деления – к вычита-

нию логарифмов.

о

Э

Таким образом, облегчение в расчете получается в силу того, что

сравнительно сложная операция св дится к более простой.

П

н

Каждому числу соответствует св й л гарифм, поэтому логарифм

0.30103 = лог

ифмчисла2 по основанию 10.

можно рассматривать как изображе ие числа.

Э

а

ример

.

р

ц

К

Различие между изображением числа в виде логарифма и изобра-

о

жением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа.

• Изображение в виде логарифма – это изображение числа, а

не функции.

•

Изображение синусоидальной функции в виде комплексно-

У

Для получения изображения функции времени вводится новая пе-

ременная p = a + jb.

П

,

Обозначим f(t) оригинал, а F(p) – изображение этой функции.

Для перехода от оригинала к изображению используется формула

преобразования Карсона-Хевисайда:

Н

.

F( p) = p∞∫

f (t)e− pt dt.

Т

0

И

Соответствие оригинала и изображения обозначают так: F(p) == f(t)

Н

Ю

.

Эта формула читается следующим образом: изображению F(p) со-

Э

ответствует функция времени f(t).

И

Интеграл

∞

p

∫

f (t)e− pt dt,

Э

0

в

о

сходится только в том

в состав которого входит функция

e− pt = e−ate− jbt ,

П

н

случае, когда модульОфункции |f(t)| если и зрастает с увеличением t, то

все же медленнее, чем | e− pt | = e− pt .

Э

а

рактически, все функции в электротехнике этому условию удов-

летворяют.

р

.

о

Изображения некоторыхспростейших функций.

К

ц

1. f(t) =A == const.

1.6.2. Изображение по Лапласу

∞∫ f (t)e− pt dt,

,

F( p) = p

У

0

П

F( p) = ∞∫

Ae− pt dt = A∞∫e− pt dt =

A

L(A) ==

A

.

0

0

p

p

В электротехнике чаще используется преобразование Карсона-

Хевисайда, в котором изображение константы соответствует константе

и оригинал и изображение имеют одинаковую размерность.

f (t) =eαt ,

И

Т

∞

∞

∞

∞

.

F(p) = p f (t)e−ptdt = p eαte−ptdt = p e−t( p−α)dt =− p

Ae−t( p−α)

−

p

(0−1) =

p

,

∫

∫

∫

p −αН

Ю

p −α

a >α,

0

0

0

Н

0

αt

p

.

e

==

.

И

p −α

О

Э.

Пусть α = jω e jωt

==

p

p − jω

о

Изображение производн й

df (t)

П

, f (t)

= f (0),

с

∞

dt

t=0

Э∞

Э

∞

−pt

−pt

−pt

∞

p∫

df (t)

e−ptdt = p∫e−ptd[ f (t)] =

eн=u du =d(e

) =−pe

= pe−pt f (t)

0∞

− p∫f (t)d[e−pt ] =

0

dt

0

а

d[ f (t)] =dv v = f (t)

0

0

.

− pp∫f (t)e−pt

= pF(p) − pf (0).

ц

= p[0− f (0)]

df

(t)

К

о

== pF(p) −рpf (0).

dt

Пример (катушка индуктивности)

uL

= L di ;

di

== pI ( p) − pi(0),

dt

dt

L di == LpI

( p) − Lpi(0).

dt

19

,

Без доказательства приведем формулу соответствия изображения

второй производной:

У

d 2 f (t)

2

2

df (t)

П

dt

2

== p

F( p) − p

f (0) − p

dt

.

t=0

Т

Н

1.6.3. Некоторые формулы соответствия оригинала изображению

2

2

.

Таблица 2. – Некоторые формы соответствия оригинала изображению

по Лапласу

p

Н

1

αt

1

−αt

p −

α

== e

( p −α)

==

1−e

(1+αt)

α

.

p

α

Э

p == e−αt

1

==

t

− 1

+ e

−αt

И

p +α

И

p( p +α)

α

α

2

α

2

== e j t

p

2

==

1

Ю−αt −βt

p − jα

( p

+α)( p +

β)

α

−

β

αe

− βe

2

Э

p

1

−αt

−βt

α

−αt

==1−e

о

==

e

−e

p +α

( p +α)( p + β)

α − β

t

н

p

p

α

1

в1

1

e

−βt

e

−αt

П

с

== te

О

==

+

−

( p −α)

2

( p +

α)( p + β)

αβ

β −

α

β

α

Э

а