Один из корней равен нулю (p1 = 0). Поэтому можно воспользо-

ваться табл. 2 соответствия оригиналов и изображений.

У

1

t

1

==

−

(1−e−at ).

П

,

p( p + a)

a

a2

Т

Разложение сложной дроби на более простые

Пусть имеется сложная дробь в виде отношения двух полиномов по

степеням x.

И

.

N (x)

an xn + an−1xn−1

+

…+ a1x

+ a0

=

Н

.

m

m−1

M (x)

bm x

Н

+…+b1x +b0

+bm−1x

.

Э

Если n < m и уравнение M(x) = 0 не имеет нулевого корня и крат-

ных корней, то дробь может быть представлена в виде:

N (x)

= A0

+ A1

x

+

A2

x

+…+ Am

x

M (x)

x − x1

x − x2

x

Ю.

− xm

или

Э

о

И

k

н

П с

m

ОN (x)

=

вx

.

Э

M (x)

k =1

x

− xk

а

где x

– корни уравнения M(x) = 0.

.

р

ц

1.7.2. Методы разложения

о

1. МетодКнеопределенных коэффициентов

2. Использование правила Лопиталя.

1

.

x2 −5x + 6

У

2

4

В данном примере N(x) = 1, а M(x) = x2 - 5x + 6.

П

,

Решим уравнение M(x) = 0,

x

= 5 ±

25 −6,

x = 2, x = 3.

1,2

1

2

Отсюда

Н .

1

x

x

=

A0 + A1

+ A2

,

Т

x2 −5x + 6

x − 2

x −3

1

A

(x2

−5x + 6) +

A

И

(x2

− 2x)

=

0

1

2

x2 −5x + 6

x

2 −5x + 6

Ю

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

Э

,

.

И

x2 : 0

= A

+ A + A

0

1

2

x : 0 = −5AН−3A − 2A

,

0

1

2

x0

:

1 = 6A .

1в1

О

1

0

Э

о

Решая полученную систему ура нений, получим:

П

н

A0

=

6

, A1 = −

2

, A2 =

3

.

Э

2

с

а

Таким образом, исходную дробь можно разложить как:

1

=

1

−

x

+

x

.

.

р

+ 6 6 2(x − 2) 3(x −3)

ц

x

−5x

К

о

Теперь найдем эти коэффициенты, используя второй способ.

Найдем A0. Для этого приравняем x к нулю (x = 0)

Обозначим N(x)

x=0 = N(0), M x=0 = M (0) и получим

N(0)

= A0

+ A1

0

+

…+ Am

0

A0

=

N (0)

.

0

− x

0

− x

M (0)

M (0)

1

m

28

Найдем A1

,

Помножим обе части исходного уравнения на (x - x1)

П

m

N(0)

xk

У

(x − x1) = A0 (x − x1) + A1x + (x − x1)∑Ak

.

M (0)

x − xk

k =2

Найдем предел от обеих частей уравнения при x → x1

N(x)

m

xk

Т

lim

(x − x1) = A0 + ∑Ak

.

И0

.

x→x1 M (x)

k =2 x − xk

В левой части получим

Н

Н

Э

.

M (x)

→ ∞,

Ю

т.к. x1 – корень уравнения M(x) = 0.

в

О

Для нахождения этого предела применим правило Лопиталя.

lim

N (x)

(x

− x1) = lim

N (x) + (x − x1)N

′(x)

=

N (x1)

M

(x)

M ′(x)

M ′(x1)

x→x1

x→x1

н

П

N (x1)

A1x1

N(x1)

′

=

A1 =о′

.

Э

M (x )

с

x M (x )

а

1

1

Э1

.

р

N (x2 )

и Ak =

N (xk )

.

Аналогично

A1

=

x2M ′(x2 )

xk M ′(xk )

о

Таким об азом,

m

ц

К

N (x)

N (0)

N (xk )

x

=

+ ∑

.

M (0)

′

M (x)

k =2

xk M

(xk ) x − xk

Для примера выше:

N (0)

= 1 ,

N(0) = 1, M(0) = 6,

A =

0

M (0)

6