Аппроксимация характеристик преобразователей 1

Лекция №

Аппроксимация характеристик преобразователей

Действительная функция преобразования ИП может иметь форму неудобную для еѐ аналитического описания, т.е. быть очень сложной.

В этом случае еѐ заменяют номинальной функцией, которая является некоторым приближением к действительной.

Замену аналитического выражения действительной характеристики выражением иной функциональной структуры называют аппроксимацией соответствующей характеристики.

Простейший вид аппроксимации – линейная аппроксимация, т.е.

аппроксимация функции преобразования линейной зависимостью.

Однако такая аппроксимация не всегда приемлема т.к. при значительных отклонениях действительной функции преобразования от линейной возникают большие погрешности аппроксимации.

В этом случае прибегают к аппроксимации более сложными функциями:

степенными, экспоненциальными, дробно-линейными и др. либо во всем диапазоне преобразования, либо с разбивкой на несколько участков и аппроксимацией каждого участка отдельной базисной функцией.

Наиболее часто используют следующие виды аппроксимации.

1. Аппроксимация степенным полиномом – заключается в замене действительной функции преобразования аппроксимирующей функцией вида:

F(x, ai) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

- представляет разложение аппроксимирующей функции в ряд Маклорена. Принимая некоторые коэффициенты ai равными 0, получим ряд новых аппроксимирующих функций.

а) если все коэффициенты ai =0, кроме a0 , поучим функцию нулевого порядка, которая применяется при линейно ступенчатой аппроксимации.

В зависимости от значений коэффициентов ai Функция может иметь различный характер нелинейности и применяться для аппроксимации самых различных по характеру функций преобразования.

Во многих случаях на практике применяется аппроксимация полиномом. Это обусловлено тем, что:

- многие физические процессы в нелинейных преобразователях подчиняются закону пропорционального роста, при котором скорость изменения функции пропорциональна самой функции.

Достоинством также является то, что практическая реализация экспоненциальной функции не вызывает особых затруднений.

В общем виде экспоненциальный полином как аппроксимирующая функция имеет вид:

F(x, ai) = a0 + a1еα1х + a2 еα2х + … + an еαnх

где ai – αi - постоянные коэффициенты.

С достаточной для практики точностью функция преобразования многих нелинейных преобразователей может быть аппроксимирована полиномом:

F(x, ai) = a0 + a1еα1х

При различных значениях коэффициентов a1 – α1 характер зависимости

F(x, ai) могут иметь самый разнообразный характер.

Для определения аппроксимирующей функции преобразования пользуются обычно методом выбранных точек.

Сущность метода заключается в выборе наиболее оптимальных точек,

через которые должна проходить аппроксимирующая кривая.

Эти точки должны выбираться из условия минимизации погрешности аппроксимации во всем диапазоне интервала преобразования.

При аппроксимации степенным полиномом наибольшее применение получил метод наименьших квадратов, основное положение которого заключается вы следующем:

сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой по вертикальному

Метод наименьших квадратов

При экспериментальном определении функции преобразования датчика измеряют значения выходной величины x. Неизбежным завершением такого ряда измерений является их графическое изображение обычно в прямоугольной системе координат. Действительная функция преобразования может иметь форму, неудобную для еѐ аналитического описания, поэтому еѐ заменяют номинальной функцией, т. е.

аппроксимируют.

При аппроксимации необходимо чтобы кривая функции проходила как можно ближе к экспериментальным точкам. Для наилучшей аппроксимации применяют метод наименьших квадратов, основное положение которого заключается в следующем:

сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой

по вертикальному отклонению должна быть наименьшей.

2 min

Пусть имеется ряд n экспериментальных точек x1,y1; x2,y2; x3,y3;…; xn,yn, а эмпирическая формула, которую мы ищем имеет вид многочлена:

y f (x) B0 B1 x B2 x2 B3 x3 ... Bm xm

Подставляя последовательно все значения x и y мы получаем n

начальных равнений

Искомыми величинами в этом выражении являются коэффициенты В1,

В2, В3, …, Вm, они должны иметь такие значения при которых это выражение имеет наименьшую величину.

Для этого необходимо определить частные производные донного выражения всем коэффициентам Вi и это производные приравнять к нулю.

Обозначив данное выражение через А вычисляем частные производные:

Число уравнений равно(m+1) и они содержат (m+1) неизвестных коэффициентов Bi по отношению к которым эти уравнения являются линейными. Решая систему уравнений (линейных) определяем значения Bi.

Правила составления нормальных уравнений:

1. В первом нормальном уравнении:

а) коэффициентом про B0 служит число n, т.е. число начальных уравнений;

б) коэффициентами при В1, В2, В3, …, Вn служит сумма всех х, причѐм каждое из слагаемых этой суммы входит в степени равной индексу при В;

2. Во втором и следующих нормальных уравнениях:

а) коэффициентами при В служит сумма всех х в степени:

во втором уравнении на единицу больше соответствующих индексов при В;

в третьем уравнении на две единицы больше индексов при В и т.д. (т.е. при переходе от первого нормального уравнения к следующим происходит как бы передвижение коэффициентов при В каждый раз на один член влево);

б) свободные члены образованы попарным произведением соответствующих значений х и у, причѐм в этих произведениях все х входят в степенях на единицу ниже порядкового номера нормального уравнения (в правой части первого нормального уравнения все х входят в нулевой степени).