Лабораторный практикум по молекулярной физике

4.9. Перепад давления в Па на концах капилляра определяется по формуле:

р1 - р2=9,8·k·<n>,

в которую значения <n> подставляется в делениях, k - коэффициент наклона микроманометра. С учетом этого рабочая формула для определения динамической вязкости η воздуха имеет вид:

Подставляя значение k, q, R, <n>, L в формулу (17), вычислите значение вязкости воздуха η для каждого эксперимента и занесите в таблицу 2. Кроме того, в таблицу заносятся значения средней по сечению скорости <υ> отдельно для каждого режима течения, которые рассчитываются по следующей формуле:

Таблица 2 - Результаты расчета расхода q, коэффициента вязкости η и средней по сечению скорости <υ>

4.10.Определите среднее значение η из результатов всех опытов и оцените погрешность по методу прямых измерений.

4.11.По наибольшему и наименьшему значениям скорости и секундного объемного расхода воздуха определите максимальное и минимальное значение числа Рейнольдса:

93

где ρ0 = 1,2928 кг/м3 - плотность сухого воздуха при нормальном атмосферном давлении р0, р0=1,013×105 Ïà, Т0 = 273 К, ратм и Т=273+t0С - давление и температура воздуха, при которых проведены опыты.

4.12.По максимальному значению числа Рейнольдса оцените, в каком режиме течения воздуха в капилляре проведены опыты. Если Re>2300, то течение турбулентное

иформула Пуазейля для него не справедлива. Если Re<2300, то течение ламинарное и можно применять формулу Пуазейля.

4.13.Сравните значение η, полученное в Ваших опытах, с табличным значением вязкости сухого воздуха, которое можно найти по формуле Сэзерленда, которая для воздуха имеет вид:

где t– комнатная температура в 0С.

93

4.14. Постарайтесь объяснить причины расхождения результатов опыта с табличным значением и сформулируйте Ваши выводы.

4.15.По найденному из опытов значению вязкости

η, используя формулу (2***), найдите среднюю длину

свободного пробега <l> молекул воздуха.

4.16. Зная длину свободного пробега <l>, можно оценить эффективный диаметр молекулы азота из формулы

5. Контрольные вопросы

5.1.Сформулировать закон вязкого трения Ньютона. Дать определение вязкости. В каких единицах измеряется вязкость в СИ?

5.2.В каких единицах измеряется давление в СИ? Какие внесистемные единицы давления вы знаете?

5.3.Выведите формулу Пуазейля для стационарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

5.4.Что называется средней длиной свободного пробега молекул? Как найти эту величину?

5.5.Объясните условия течения жидкости в трубе, при которых расчеты Пуазейля справедливы.

5.6.Объясните принцип действия лабораторной установки и принцип работы микроманометра.

6. Задание для СРС

6.1. Цель СРС:

6.1.1. определить более точное значение вязкости воздуха, учитывая поправки на перепад давления на входе в капилляр и на разгонном участке течения, где формулы Пуазейля не справедливы;

93

6.1.2.определить зависимость коэффициента гидравлического сопротивления цилиндрической трубы от числа Рейнольдса;

6.1.3.определить критическое значение числа Рейнольдса, при котором происходит переход из ламинарной формы течения в турбулентную при движении жидкости в цилиндрической трубе.

6.2. Расчет поправок к формуле Пуазейля и вывод формул для вычисления гидравлического сопротивления трубы

6.2.1.Ламинарное движение в разгонном участке

трубы.

При выводе формул Пуазейля (14) мы предполагали, что во всех сечениях трубы распределение скоростей одинаково (т.е. течение установившееся). Для труб конечной длины это справедливо только для участков, находящихся на большом удалении от места входа в трубу.

Эксперимент показывает, что, если жидкость поступает в трубу из резервуара, размеры которого достаточно велики по сравнению с диаметром трубы, и вход в трубу плавно закруглен так, чтобы не было возмущений потока, то во входном сечении скорость во всех точках постоянна

иравна средней расходной скорости жидкости (за исключением очень тонкого слоя вблизи стенок трубы).

По мере продвижения жидкости вдоль трубы слои жидкости, прилегающие к стенкам, затормаживаются благодаря действию сил вязкости. Толщина пограничного слоя растет по длине трубы, пока не заполнит всё её сечение. При этом с удалением от входа профили скорости, перестраиваясь, постепенно приближаются к параболическому профилю установившегося ламинарного течения

(рис.5).

93

Участок трубы от входного сечения до сечения, где максимальная скорость на оси трубы отличается на 1% от максимальной скорости параболического профиля, называется начальным, или разгонным участком.

Длина начального участка xн определяется полуэмпирической формулой:

xн=0,04·d·Re (21)

здесь d - диаметр трубы.

Таким образом, формула Пуазейля (14) справедлива для участков трубы, расположенных за разгонным участком течения. Однако в большинстве случаев экспериментально удается измерять падение давления только по всей длине тонкой трубки, начиная от входного сечения.

Рисунок 5.

В этом случае необходимо учесть поправку на падение давления в начальном участке.

Если жидкость или газ втекает в трубу из резервуара, большего по сравнению с диаметром трубы, то, применяя уравнение Бернулли к сечению резервуара вдали от

93

где р0 - давление в резервуаре, р1 - давление во входном сечении трубы.

Далее в разгонном участке трубы по мере утолщения пограничного слоя скорость в осевой части потока возрастает от значения <υ> до значения в

конце разгонного участка. При этом кинетическая энергия потока, проходящего в единицу времени через сечения трубки, возрастает от ее начального значения

где m=ρπR2×<υ> - масса втекающей в трубу в единицу времени жидкости, до значения Е в конце разгонного участка, в котором устанавливается параболический профиль скорости:

Таким образом, кинетическая энергия Е потока с параболическим профилем в 2 раза больше начальной кинетической энергии Е0. Для того, чтобы сообщить потоку эту дополнительную кинетическую энергию, в разгонном участке происходит дополнительное падение давления, равное

Наконец, более высокий градиент скорости вблизи стенок трубы в разгонном участке создает перепад давления, превышающий падение давления по закону Пуазейля на той же длине, на величину

93

Суммируя все виды дополнительных потерь в разгонном участке (22), (25.) и (26.) и добавляя их к потерям давления на длине трубы по формуле Пуазейля (14), получим:

Здесь р0 и р2 - статические давления в резервуаре перед входным сечением и в сечении, отстоящем от входа трубы на расстояние l.

Заменив <υ> через секундный объемный расход жидкости и учитывая, что р0 - р2 = 9,8 k n, из (27) найдем значение вязкости:

Эта формула используется для определения вязкости воздуха при ламинарном движении в трубе с учетом поправок на влияние разгонного участка.

6.2.2. Расчет гидравлического сопротивления трубы При движении жидкости по трубе постоянного сечения диаметром d потери давления р1-р2 на сопротивление трения для участка длиной l принято определять по эмпи-

рическому закону Дарси:

Здесь λ называется коэффициентом гидравлического сопротивления трубы.

Если движение жидкости в цилиндрической трубе ламинарное и установившееся, то для участка трубы вдали от входа разность давлений р1-р2 определяется формулой Пуазейля (16). Подставляя (16) в (29), найдем коэффициент гидравлического сопротивления:

93

Формула (30) носит название закона Пуазейля для коэффициента гидравлического сопротивления при ламинарном течении жидкости. Число Рейнольдса имеет важнейшее значение в теории подобия гидродинамических течений.

Экспериментально установлено, что ламинарное, или слоистое, течение вязкой жидкости с параболическим профилем скорости в трубе имеет место только при числах Рейнольдса Re ≤ 2300. При значениях числа Re>2300 течение принципиально изменяет свой характер: вместо спокойного слоистого течения наблюдается вихревое, или турбулентное, течение.

При переходе из ламинарного режима течения в турбулентный коэффициент гидравлического сопротивления трубы резко возрастает и в области развитого турбулентного режима течения зависимость λ от числа Re подчиняется эмпирическому закону Блазиуса:

справедливому в области значений: 2300<Re<105.

Так как в наших опытах мы определяем перепад давления по всей длине трубки, начиная от входного сечения, то для определения λ при ламинарном течении необходимо учесть поправку на перепад давления в разгонном участке, используя формулу (27). Таким образом, формула для определения λ для ламинарного течения по данным опыта имеет вид:

93

d2

7.Порядок выполнения работы

7.1.Выполните работу согласно пунктам 4.1.÷4.3. При этом измерительную трубку микроманометра поставьте в положение, соответствующее коэффициенту наклона k = 0.8 или для больших перепадов давлений используйте U – образный манометр.

7.2.Плавно открывая кран газометра, добейтесь максимального секундного расхода воды, при котором показание микроманометра будет близко к верхнему пределу

шкалы. Измерьте время истечения τ объема жидкости V, соответствующего емкости мерной колбы, и запишите в таблицу № 1 данные опыта.

7.3. Установите расход воды так, чтобы для каждого последующего опыта уровень жидкости в трубке микроманометра уменьшался на 20÷40 мм и повторяйте измерения до значений n = 20÷30 мм при коэффициента наклона k = 0.8.

7.4. После этого переведите микроманометр на коэффициент наклона k = 0,2 и повторяйте измерения от значений n = 240 мм до n=20÷30 мм аналогично пункту 7.3.

7.5. Вычислите коэффициент гидравлического сопротивления λ по формуле (32) по данным каждого опыта и занесите в таблицу 3.

Таблица 3 - Расчет коэффициента гидравлического сопротивления

93