21 Контравариантные и ковариантные компоненты

§21 Контравариантные и ковариантные компоненты. Инфинитезимальные афинные преобразования репера.

Умножим вектор

(1)

скалярно на вектор . обозначая произведение , получим с помощью формулы (1) §20

(2)

Компоненты носят название контравариантных компонентов вектора, а компоненты − ковариантных компонентов.

Умножая обе части равенства (2) на и суммируя по индексу , получим

(3)

аналогично,

(4)

Чтобы перейти от ковариантных компонентов вектора к контравариантным, надо разрешить систему (2) из уравнений с неизвестными . По известной формуле это решение будет

(5)

где − приведенный минор элемента в определителе

т.е. адъюнкт элемента , деленный на определитель . Все это относится также к инфинитезимальным компонентам или .

Для ортонормированного репера

поэтому по формуле (2)

т.е. ковариантные компоненты вектора равны контравариантным. Мы будем писать без различия , , сохраняя условие суммирования (2) §19 по двум одинаковым, одному верхнему, другому нижнему, индексам.

Заметим, что при косоугольном репере мы уже не можем говорить, что уравнение (5) определяют движения репера, так как наши трехгранники теперь не конгруэнтны. Однако преобразование координат при переходе от одного координатного трехгранника к другому будет определяться линейной подстановкой. Действительно, если обозначить через косинусы углов между старыми и новыми осями, через − старые координаты произвольной точки, через − новые координаты ее и через координаты нового начала в старой системе, то получим для старых координат формулу

Поскольку общая линейная подстановка определяет аффинное преобразование, уравнения (5) определяют инфинитезимальные афинные преобразования репера.

§ 22. Теория пфаффовых форм.

Видно, что при заданном движении репера т.е. при заданных координатах радиуса вектора и единичных векторов осей в виде функций от параметра , можем найти 6 компонент инфинитезимальных смещений репера.

Возникает вопрос: могут ли произвольно заданные шесть форм , линейные относительно , представлять смещения трехгранника в обычном пространстве?

Чтобы ответить на этот вопрос, придется сделать отступление в область анализа и рассмотреть свойства пфаффовых форм.

Пусть дана форма Пфаффа

Дифференциалы независимых переменных обыкновенно рассматриваются как новые независимые переменные, но можно также рассматривать их как заданные функции независимых переменных

(направленное смещение с определенным символом дифференцирования). Рассмотрим два символа дифференцирования и и два ряда различных дифференциалов

Пусть эти два символа дифференцирования переместительны

(1)

Теорема. Если символы дифференцирования и переместительны для независимых переменных, то они переместительны и для функции.

Действительно, рассмотрим функцию

Тогда

второе дифференцирование дает

(2)

Здесь вторые члены равны в силу условия(1); в первых членах во второй формуле (2) индексы суммирования i на k и k на i,получим сумму

которая отличается от аналогичной суммы в выражении только порядком дифференцирования во второй производной, а поскольку в смешанных частных производных результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, первые члены в правых частях выражений (2) совпадают, и имеем

(3)